题目

13. (4.0分) int_(0)^1e^sqrt(x)dx=____

13. (4.0分) $\int_{0}^{1}e^{\sqrt{x}}dx=$____

题目解答

答案

令 $\sqrt{x} = t$，则 $x = t^2$，$dx = 2t \, dt$。积分上下限变为 $t:0 \to 1$。 原积分化为： \[ \int_{0}^{1}e^{\sqrt{x}}dx = 2 \int_{0}^{1}t e^t \, dt. \] 使用分部积分法，设 $u = t$，$dv = e^t \, dt$，则 $du = dt$，$v = e^t$。 \[ \int_{0}^{1}t e^t \, dt = \left[ t e^t \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}e^t \, dt = e - (e - 1) = 1. \] 因此，原积分值为： \[ 2 \times 1 = \boxed{2}. \]

解析

本题考查定积分的计算，解题思路是先通过换元法将被积函数中的根式去掉，然后再使用分部积分法计算定积分。

  1. 换元：
    令$\sqrt{x} = t$，则$x = t^2$，对$x = t^2$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得$dx = 2t \, dt$。
    当$x = 0$时，$t = \sqrt{0} = 0$；当$x = 1$时，$t = \sqrt{1} = 1$。
    所以原积分$\int_{0}^{1}e^{\sqrt{x}}dx$化为$2 \int_{0}^{1}t e^t \, dt$。
  2. 使用分部积分法计算$\int_{0}^{1}t e^t \, dt$：
    分部积分公式为$\int_{a}^{b}u \, dv = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b}v \, du$。
    设$u = t$，$dv = e^t \, dt$，对$u = t$求导得$du = dt$，对$dv = e^t \, dt$积分得$v = e^t$。
    将$u$、$v$、$du$、$dv$代入分部积分公式可得：
    $\int_{0}^{1}t e^t \, dt = \left[ t e^t \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}e^t \, dt$
  3. 分别计算$\left[ t e^t \right]_{0}^{1}$和$\int_{0}^{1}e^t \, dt$：
    • 计算$\left[ t e^t \right]_{0}^{1}$：
      根据牛顿 - 莱布尼茨公式$[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$，可得$\left[ t e^t \right]_{0}^{1}=1\times e^1 - 0\times e^0 = e$。
    • 计算$\int_{0}^{1}e^t \, dt$：
      因为$(e^t)^\prime = e^t$，所以$\int_{0}^{1}e^t \, dt [e^t]_{0}^{1}=e^1 - e^0 = e - 1$。
  4. 计算$\int_{0}^{1}t e^t \, dt$的值：
    将$\left[ t e^t \right]_{0}^{1}=e$和$\int_{0}^{1}e^t \, dt = e - 1$代入$\int_{0}^{1}t e^t \, dt = \left[ t e^t \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}e^t \, dt$可得：
    $\int_{0}^{1}t e^t \, dt = e - (e - 1) = 1$
  5. 计算原积分的值：
    因为$\int_{0}^{1}e^{\sqrt{x}}dx = 2 \int_{0}^{1}t e^t \, dt$，且$\int_{0}^{1}t e^t \, dt = 1$，所以$\int_{0}^{1}e^{\sqrt{x}}dx = 2\times 1 = 2$。