题目
下列函数中，为微分方程 xdx + ydy = 0 的通解是(）。A. x + y = CB. x^2 + y^2 = CC. Cx + y = 0D. Cx^2 + y = 0
下列函数中，为微分方程 $xdx + ydy = 0$ 的通解是(）。
A. $x + y = C$
B. $x^2 + y^2 = C$
C. $Cx + y = 0$
D. $Cx^2 + y = 0$
题目解答
答案
B. $x^2 + y^2 = C$
解析
步骤 1：重排微分方程
将微分方程 $x \, dx + y \, dy = 0$ 重排为 $x \, dx = -y \, dy$。
步骤 2：积分
对两边分别积分，得到 $\int x \, dx = -\int y \, dy$。
步骤 3：计算积分
计算积分得到 $\frac{x^2}{2} = -\frac{y^2}{2} + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 4：整理方程
整理方程得到 $x^2 + y^2 = C'$，其中 $C' = 2C$ 是新的常数。
步骤 5：对比选项
对比选项，通解形式为 $x^2 + y^2 = C$，对应选项 B。
将微分方程 $x \, dx + y \, dy = 0$ 重排为 $x \, dx = -y \, dy$。
步骤 2：积分
对两边分别积分，得到 $\int x \, dx = -\int y \, dy$。
步骤 3：计算积分
计算积分得到 $\frac{x^2}{2} = -\frac{y^2}{2} + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 4：整理方程
整理方程得到 $x^2 + y^2 = C'$，其中 $C' = 2C$ 是新的常数。
步骤 5：对比选项
对比选项，通解形式为 $x^2 + y^2 = C$，对应选项 B。