8.设曲线积分 (int )_(L)yf(x)dx+[ 2xf(x)-(x)^2] dy 在 gt 0 内与路径无关,其中f(x)可导,-|||-(1)=1, 求f(x).

考查要点：本题主要考查曲线积分与路径无关的条件，以及一阶线性常微分方程的解法。

解题核心思路：
当曲线积分 $\int_L P(x,y)dx + Q(x,y)dy$ 在某区域内与路径无关时，需满足 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。利用这一条件，将题目中的被积表达式代入，建立关于 $f(x)$ 的微分方程，进而求解。

破题关键点：

1. 确定条件：根据曲线积分与路径无关的条件，写出偏导数相等的方程。
2. 构造微分方程：通过整理偏导数方程，得到关于 $f(x)$ 的一阶线性微分方程。
3. 求解微分方程：使用积分因子法求解微分方程，并利用初始条件 $f(1)=1$ 确定常数。

步骤1：应用曲线积分与路径无关的条件

设 $P = y f(x)$，$Q = 2x f(x) - x^2$，根据条件 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，得：
$\frac{\partial}{\partial y} [y f(x)] = \frac{\partial}{\partial x} [2x f(x) - x^2]$
计算偏导数：

• 左侧：$\frac{\partial P}{\partial y} = f(x)$
• 右侧：$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2 f(x) + 2x f'(x) - 2x$

联立得方程：
$f(x) = 2 f(x) + 2x f'(x) - 2x$

步骤2：整理微分方程

移项整理方程：
$2x f'(x) + f(x) = 2x$
改写为标准一阶线性微分方程形式：
$f'(x) + \frac{1}{2x} f(x) = 1$

步骤3：求解微分方程

积分因子：
$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{2x} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln x} = \sqrt{x}$
方程两边乘以积分因子：
$\sqrt{x} f'(x) + \frac{1}{2\sqrt{x}} f(x) = \sqrt{x}$
左侧为 $\frac{d}{dx} [\sqrt{x} f(x)]$，积分得：
$\sqrt{x} f(x) = \int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3} x^{3/2} + C$
解得：
$f(x) = \frac{2}{3} x + \frac{C}{\sqrt{x}}$

步骤4：应用初始条件

代入 $f(1) = 1$：
$1 = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{C}{1} \implies C = \frac{1}{3}$
最终解为：
$f(x) = \frac{2}{3} x + \frac{1}{3\sqrt{x}}$