设二维随机变量 ( X , Y ) 其联合概率密度为f(x,y)= 0,else-|||-,0lt xlt ylt 1,则A = _____, X与Y是否相互独立_____（ ）A 4 ; 是 B 8 ; 是 C 4 ; 否 D 8 ; 否

考查要点：本题主要考查二维随机变量的联合概率密度归一化条件及随机变量独立性的判断方法。

解题核心思路：

1. 归一化条件：利用联合概率密度在整个定义域上的积分等于1，建立方程求解常数A。
2. 独立性判断：通过计算边缘概率密度，验证联合密度是否等于边缘密度的乘积，从而判断X与Y是否独立。

破题关键点：

• 积分区域：注意联合密度非零的区域为$0 < x < y < 1$，积分时需正确处理变量上下限。
• 边缘密度计算：分别对$x$和$y$积分求出边缘密度$f_X(x)$和$f_Y(y)$，再比较乘积与联合密度的关系。

（1）求常数A的值

根据概率密度的归一化条件：
$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx \, dy = 1$

积分区域：$0 < x < y < 1$，即$x$从$0$到$y$，$y$从$0$到$1$。调整积分顺序为先对$x$积分，再对$y$积分：
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} Axy \, dx \, dy = 1$

计算内积分：
$\int_{0}^{y} Axy \, dx = A y \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{y} = A y \cdot \frac{y^2}{2} = \frac{A y^3}{2}$

计算外积分：
$\int_{0}^{1} \frac{A y^3}{2} \, dy = \frac{A}{2} \cdot \frac{y^4}{4} \Big|_{0}^{1} = \frac{A}{8} = 1$

解得：
$A = 8$

（2）判断X与Y是否独立

计算边缘密度：

• $f_X(x)$：对$y$积分，积分限为$x$到$1$：
  $f_X(x) = \int_{x}^{1} 8xy \, dy = 8x \cdot \frac{y^2}{2} \Big|_{x}^{1} = 4x(1 - x^2) = 4x - 4x^3 \quad (0 < x < 1)$

• $f_Y(y)$：对$x$积分，积分限为$0$到$y$：
  $f_Y(y) = \int_{0}^{y} 8xy \, dx = 8y \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{y} = 4y^3 \quad (0 < y < 1)$

验证独立性：
若$X$与$Y$独立，则$f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$。计算乘积：
$f_X(x) f_Y(y) = (4x - 4x^3) \cdot 4y^3 = 16x y^3 - 16x^3 y^3$
而联合密度为：
$f(x,y) = 8xy \quad (0 < x < y < 1)$
显然，$f_X(x) f_Y(y) \neq f(x,y)$，因此X与Y不独立。