题目
3、单选-|||-对定积分定义, (int )_(a)^bf(x)dx=lim _(lambda arrow 0)sum _(i=1)^nf((xi )_(i))Delta (x)_(i), 下列关于分割方式-|||-与ξ1的选取方法的说法中正确的是 () .-|||-(4分)-|||-A [a,b]必须进行n等分, _(i)in [ (x)_(i-1),(x)_(i)] 可以任意取-|||-B [a,b]可以任意分割,且ξ1可以在 [ (x)_(i)-1,(x)_(i)] 内任意选取-|||-C [a,b]必须进行n等分,ξ1要取作 [ (x)_(i)-1,(x)_(i)] 的中点-|||-D [a,b]可以任意分割,ξ1只能选取 [ (x)_(i)-1,(x)_(i)] 的端点
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解定积分的定义
定积分 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 表示分布在区间 $[a, b]$ 上的量的总量 $S$。$S$ 具有可加性，即无论将区间 $[a, b]$ 如何分割，各个小区间上对应的局部量 $\Delta S_i$ 之和 $\sum \Delta S_i$ 恒等于总量 $S$。
步骤 2：分析区间分割的任意性
定积分表示的量，要求每个小区间上，$f(x)$ 的值相差无几，可以用小区间内任一点 $\xi_i$ 处的值 $f(\xi_i)$ 与小区间的长度 $\Delta x_i$ 作局部量 $\Delta S_i$ 的近似值，即局部线性化。它们之和 $\sum f(\xi_i) \Delta x_i$ 为总量 $S$ 的近似量，最后通过 $\Delta x_i \to 0$ 取极限，将近似转为精确，得到总量 $S$。故点 $\xi_i$ 具有任意性。
步骤 3：选择正确的选项
根据上述分析，区间 $[a, b]$ 可以任意分割，且 $\xi_i$ 可以在 $[x_{i-1}, x_i]$ 内任意选取，因此选项 B 是正确的。
定积分 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 表示分布在区间 $[a, b]$ 上的量的总量 $S$。$S$ 具有可加性，即无论将区间 $[a, b]$ 如何分割，各个小区间上对应的局部量 $\Delta S_i$ 之和 $\sum \Delta S_i$ 恒等于总量 $S$。
步骤 2：分析区间分割的任意性
定积分表示的量，要求每个小区间上，$f(x)$ 的值相差无几，可以用小区间内任一点 $\xi_i$ 处的值 $f(\xi_i)$ 与小区间的长度 $\Delta x_i$ 作局部量 $\Delta S_i$ 的近似值，即局部线性化。它们之和 $\sum f(\xi_i) \Delta x_i$ 为总量 $S$ 的近似量，最后通过 $\Delta x_i \to 0$ 取极限，将近似转为精确，得到总量 $S$。故点 $\xi_i$ 具有任意性。
步骤 3：选择正确的选项
根据上述分析，区间 $[a, b]$ 可以任意分割，且 $\xi_i$ 可以在 $[x_{i-1}, x_i]$ 内任意选取，因此选项 B 是正确的。