题目
设 Sigma 是锥面 z=sqrt(x^2+y^2) 被平面 z=0 和 z=1 所截得部分的外侧，则曲面积分 iint_(Sigma) xdydz + ydzdx + (z^2-2z)dxdy = ( ).A. -(3)/(2)piB. 0C. (2)/(3)piD. (3)/(2)pi
设 $\Sigma$ 是锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被平面 $z=0$ 和 $z=1$ 所截得部分的外侧，则曲面积分 $\iint_{\Sigma} xdydz + ydzdx + (z^2-2z)dxdy = (\quad)$.
A. $-\frac{3}{2}\pi$
B. 0
C. $\frac{2}{3}\pi$
D. $\frac{3}{2}\pi$
题目解答
答案
D. $\frac{3}{2}\pi$
解析
步骤 1：扩展曲面为闭合曲面
将曲面 $\Sigma$ 扩展为闭合曲面，包含平面 $z=1$ 的上侧 $\Sigma_1$。这样，我们就可以应用高斯公式来计算曲面积分。
步骤 2：应用高斯公式
应用高斯公式： \[ \iint_{\Sigma + \Sigma_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV \] 其中，$\mathbf{F} = (x, y, z^2 - 2z)$，$\nabla \cdot \mathbf{F} = 2z$。在柱坐标系中积分： \[ \iiint_{\Omega} 2z \, dV = \int_0^1 \int_0^{2\pi} \int_0^z 2zr \, dr \, d\theta \, dz = \frac{\pi}{2} \]
步骤 3：计算 $\Sigma_1$ 上的积分
计算 $\Sigma_1$ 上的积分（$z=1$，上侧）： \[ \iint_{\Sigma_1} (z^2 - 2z) \, dx \, dy = -\pi \]
步骤 4：计算原积分
原积分： \[ \iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \frac{\pi}{2} - (-\pi) = \frac{3\pi}{2} \]
将曲面 $\Sigma$ 扩展为闭合曲面，包含平面 $z=1$ 的上侧 $\Sigma_1$。这样，我们就可以应用高斯公式来计算曲面积分。
步骤 2：应用高斯公式
应用高斯公式： \[ \iint_{\Sigma + \Sigma_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV \] 其中，$\mathbf{F} = (x, y, z^2 - 2z)$，$\nabla \cdot \mathbf{F} = 2z$。在柱坐标系中积分： \[ \iiint_{\Omega} 2z \, dV = \int_0^1 \int_0^{2\pi} \int_0^z 2zr \, dr \, d\theta \, dz = \frac{\pi}{2} \]
步骤 3：计算 $\Sigma_1$ 上的积分
计算 $\Sigma_1$ 上的积分（$z=1$，上侧）： \[ \iint_{\Sigma_1} (z^2 - 2z) \, dx \, dy = -\pi \]
步骤 4：计算原积分
原积分： \[ \iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \frac{\pi}{2} - (-\pi) = \frac{3\pi}{2} \]