20.设随机变量(UND,Y)的联合概率密度为 f(x,y)= ) 0,0lt xlt 1,0lt ylt 2x 0 . 试求:-|||-(1)常数c;-|||-(2)fx(x)和fy((y);-|||-(3)判断X与Y的独立性.

步骤 1：求常数c
根据联合概率密度函数的性质，联合概率密度函数在定义域上的积分应等于1。因此，我们有：
$$
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2x} c \, dy \, dx = 1
$$
步骤 2：计算积分
首先对y积分，然后对x积分：
$$
\int_{0}^{1} \left[ cy \right]_{0}^{2x} \, dx = \int_{0}^{1} 2cx \, dx = 2c \int_{0}^{1} x \, dx = 2c \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = c
$$
步骤 3：求解c
根据步骤2的计算结果，我们得到：
$$
c = 1
$$
步骤 4：求边缘概率密度函数fx(x)和fy(y)
边缘概率密度函数fx(x)可以通过对y积分得到：
$$
f_X(x) = \int_{0}^{2x} c \, dy = 2x, \quad 0 < x < 1
$$
边缘概率密度函数fy(y)可以通过对x积分得到：
$$
f_Y(y) = \int_{\frac{y}{2}}^{1} c \, dx = 1 - \frac{y}{2}, \quad 0 < y < 2
$$
步骤 5：判断X与Y的独立性
如果X与Y独立，则联合概率密度函数等于边缘概率密度函数的乘积，即：
$$
f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)
$$
根据步骤4的结果，我们有：
$$
f(x,y) = 1, \quad 0 < x < 1, 0 < y < 2x
$$
$$
f_X(x) f_Y(y) = 2x \left(1 - \frac{y}{2}\right), \quad 0 < x < 1, 0 < y < 2
$$
显然，$f(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$，因此X与Y不独立。