题目

（4）求极限lim_(xtoinfty)((x+c)/(x-c))^x，其中c为常数。（2010计算机计算1）

（4）求极限$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+c}{x-c}\right)^x$，其中c为常数。（2010计算机计算1）

题目解答

答案

将原式变形为： \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x + c}{x - c} \right)^x = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2c}{x - c} \right)^x \] 取自然对数得： \[ \ln L = \lim_{x \to \infty} x \ln \left( 1 + \frac{2c}{x - c} \right) \] 由泰勒展开 $\ln(1 + u) \approx u$（当 $u \to 0$），有： \[ \ln L = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{2c}{x - c} = 2c \] 因此，$L = e^{2c}$。 **答案：** $\boxed{e^{2c}}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及指数函数的极限形式，需要灵活运用等价无穷小替换、泰勒展开或自然对数的变形技巧。

解题核心思路：

  1. 变形化简：将原式转化为类似$\left(1+\frac{a}{x}\right)^x$的形式，利用已知极限$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x = e^a$。
  2. 自然对数处理：对复杂指数形式取自然对数，简化极限计算。
  3. 泰勒展开：对$\ln(1+u)$进行泰勒展开，保留主要项，忽略高阶无穷小。

破题关键点：

  • 分子分母同除以$x$，将分数化简为$1+\frac{2c}{x-c}$。
  • 等价无穷小替换：当$x\to\infty$时，$\ln\left(1+\frac{2c}{x-c}\right) \approx \frac{2c}{x-c}$。
  • 极限化简：通过代数变形，将极限转化为直接可计算的形式。

步骤1：变形原式
将原式$\left(\frac{x+c}{x-c}\right)^x$变形为：
$\frac{x+c}{x-c} = \frac{x - c + 2c}{x - c} = 1 + \frac{2c}{x - c}.$
因此，原式可写为：
$\lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{2c}{x - c}\right)^x.$

步骤2：取自然对数
令$L = \lim_{x\to\infty} \left(1 + \frac{2c}{x - c}\right)^x$，则：
$\ln L = \lim_{x\to\infty} x \cdot \ln\left(1 + \frac{2c}{x - c}\right).$

步骤3：泰勒展开近似
当$x\to\infty$时，$\frac{2c}{x - c} \to 0$，利用泰勒展开$\ln(1+u) \approx u$（忽略高阶小项）：
$\ln L \approx \lim_{x\to\infty} x \cdot \frac{2c}{x - c}.$

步骤4：化简极限
将分母$x - c$近似为$x$（当$x\to\infty$时）：
$\ln L \approx \lim_{x\to\infty} x \cdot \frac{2c}{x} = 2c.$

步骤5：求最终结果
对$\ln L = 2c$取指数得：
$L = e^{2c}.$