设 f(u,v) 具有二阶连续偏导数，z = f(xy, x^2 - y^2)，求 (partial z)/(partial x) 及 (partial^2 z)/(partial x partial y).

我们要求函数 $ z = f(xy, x^2 - y^2) $ 的一阶偏导数 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 和二阶混合偏导数 $ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $。 --- ### 第一步：设定中间变量 令： - $ u = xy $ - $ v = x^2 - y^2 $ 则： $$ z = f(u, v) = f(xy, x^2 - y^2) $$ --- ### 第二步：计算一阶偏导数 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 使用链式法则： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} $$ 我们分别计算： - $ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = y $ - $ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial (x^2 - y^2)}{\partial x} = 2x $ 所以： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = f_u \cdot y + f_v \cdot 2x $$ --- ### 第三步：计算二阶混合偏导数 $ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $ 我们对 $ \frac{\partial z}{\partial x} = f_u \cdot y + f_v \cdot 2x $ 再对 $ y $ 求偏导。 注意：$ f_u $ 和 $ f_v $ 是 $ f $ 关于 $ u $ 和 $ v $ 的偏导数，它们本身也是关于 $ u $ 和 $ v $ 的函数，而 $ u = xy $, $ v = x^2 - y^2 $，因此它们也依赖于 $ x $ 和 $ y $。所以我们需要使用链式法则。 #### 第一项：对 $ f_u \cdot y $ 求偏导 $$ \frac{\partial}{\partial y}(f_u \cdot y) = \frac{\partial f_u}{\partial y} \cdot y + f_u $$ 计算 $ \frac{\partial f_u}{\partial y} $： $$ \frac{\partial f_u}{\partial y} = \frac{\partial f_u}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f_u}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} $$ - $ \frac{\partial u}{\partial y} = x $ - $ \frac{\partial v}{\partial y} = -2y $ 所以： $$ \frac{\partial f_u}{\partial y} = f_{uu} \cdot x + f_{uv} \cdot (-2y) $$ 因此： $$ \frac{\partial}{\partial y}(f_u \cdot y) = \left( f_{uu} \cdot x - 2y f_{uv} \right) \cdot y + f_u = f_{uu} \cdot xy - 2y^2 f_{uv} + f_u $$ #### 第二项：对 $ f_v \cdot 2x $ 求偏导 $$ \frac{\partial}{\partial y}(f_v \cdot 2x) = 2x \cdot \frac{\partial f_v}{\partial y} $$ 计算 $ \frac{\partial f_v}{\partial y} $： $$ \frac{\partial f_v}{\partial y} = \frac{\partial f_v}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f_v}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = f_{vu} \cdot x + f_{vv} \cdot (-2y) $$ 所以： $$ \frac{\partial}{\partial y}(f_v \cdot 2x) = 2x \cdot \left( f_{vu} \cdot x - 2y f_{vv} \right) = 2x^2 f_{vu} - 4xy f_{vv} $$ --- ### 第四步：合并结果 将两项相加： $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \left( f_{uu} \cdot xy - 2y^2 f_{uv} + f_u \right) + \left( 2x^2 f_{vu} - 4xy f_{vv} \right) $$ 注意：$ f_{uv} = f_{vu} $（因为 $ f $ 有二阶连续偏导数），所以我们可以统一写作 $ f_{uv} $。 最终结果为： $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_{uu} \cdot xy - 2y^2 f_{uv} + f_u + 2x^2 f_{uv} - 4xy f_{vv} $$ --- ### 最终答案： - 一阶偏导数： $$ \boxed{\frac{\partial z}{\partial x} = y f_u + 2x f_v} $$ - 二阶混合偏导数： $$ \boxed{\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_{uu} \cdot xy - 2y^2 f_{uv} + f_u + 2x^2 f_{uv} - 4xy f_{vv}} $$ 其中： - $ f_u = \frac{\partial f}{\partial u} $ - $ f_v = \frac{\partial f}{\partial v} $ - $ f_{uu} = \frac{\partial^2 f}{\partial u^2} $ - $ f_{uv} = \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} $ - $ f_{vv} = \frac{\partial^2 f}{\partial v^2} $