题目

6. (2.0分) 【判断题】定积分int_((1)/(2))^1x^2ln xdx<0A 对B 错

6. (2.0分) 【判断题】定积分$\int_{\frac{1}{2}}^{1}x^{2}\ln xdx<0$ A 对 B 错

题目解答

答案

在区间 $\left[ \frac{1}{2}, 1 \right]$ 上，$x^2$ 恒为正，而 $\ln x$ 由于 $x < 1$ 而为负。因此，被积函数 $x^2 \ln x$ 在整个区间内为负。根据定积分的性质，当被积函数在积分区间内恒负时，定积分值也必为负。 计算结果进一步确认了这一结论。 答案：$\boxed{A}$

解析

本题考查定积分的性质以及函数在给定区间上的正负性判断。解题思路是先分析被积函数在积分区间内的正负情况，再根据定积分的性质判断定积分值的正负，最后通过计算定积分的值来进一步验证。

  1. 判断被积函数在积分区间内的正负性：
    • 对于函数$y = x^2$，因为任何实数的平方都大于等于$0$，且在区间$\left[\frac{1}{2}, 1\right]$上$x\neq0$，所以$x^2>0$。
    • 对于函数$y = \ln x$，根据对数函数的性质，当$0<x<1$时，$\ln x<0$，在区间$\left[\frac{1}{2}, 1\right]$上满足$0<x<1$，所以$\ln x<0$。
    • 由于一个正数与一个负数相乘结果为负数，所以被积函数$f(x)=x^2\ln x<0$在区间$\left[\frac{1}{2}, 1\right]$上恒成立。
  2. 根据定积分的性质判断定积分值的正负：
    • 定积分的几何意义是被积函数曲线与$x$轴所围成的面积的代数和，当被积函数在积分区间内恒负时，定积分值表示的是$x$轴下方的面积，其值为负。所以$\int_{\frac{1}{2}}^{1}x^{2}\ln xdx<0$。
  3. 计算定积分的值进行验证：
    • 使用分部积分法$\int_{a}^{b}u\mathrm{d}v=uv|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\mathrm{d}u$，令$u = \ln x$，$\mathrm{d}v = x^2\mathrm{d}x$。
    • 先求$\mathrm{d}u$和$v$：
      • 对$u = \ln x$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\mathrm{d}x$。
      • 对$\mathrm{d}v = x^2\mathrm{d}x$积分，根据积分公式$\int x^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得$v=\frac{1}{3}x^3$。
    • 则$\int_{\frac{1}{2}}^{1}x^{2}\ln xdx=\left[\frac{1}{3}x^3\ln x\right]_{\frac{1}{2}}^{1}-\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{3}x^3\cdot\frac{1}{x}\mathrm{d}x$。
    • 计算$\left[\frac{1}{3}x^3\ln x\right]_{\frac{1}{2}}^{1}$：
      • $\left[\frac{1}{3}x^3\ln x\right]_{\frac{1}{2}}^{1}=\frac{1}{3}\times1^3\times\ln 1-\frac{1}{3}\times(\frac{1}{2})^3\times\ln\frac{1}{2}$。
      • 因为$\ln 1 = 0$，$\ln\frac{1}{2}=-\ln 2$，所以$\left[\frac{1}{3}x^3\ln x\right]_{\frac{1}{2}}^{1}=0-\frac{1}{3}\times\frac{1}{8}\times(-\ln 2)=\frac{1}{24}\ln 2$。
    • 计算$\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{3}x^3\cdot\frac{1}{x}\mathrm{d}x$：
      • $\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{3}x^3\cdot\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\int_{\frac{1}{2}}^{1}x^2\mathrm{d}x$。
      • 根据积分公式$\int x^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得$\frac{1}{3}\int_{\frac{1}{2}}^{1}x^2\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\times\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{\frac{1}{2}}^{1}$。
      • $\frac{1}{3}\times\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{\frac{1}{2}}^{1}=\frac{1}{9}\times(1^3 - (\frac{1}{2})^3)=\frac{1}{9}\times(1 - \frac{1}{8})=\frac{1}{9}\times\frac{7}{8}=\frac{7}{72}$。
    • 所以$\int_{\frac{1}{2}}^{1}x^{2}\ln xdx=\frac{1}{24}\ln 2-\frac{7}{72}$。
    • 因为$\ln 2\approx0.693$，则$\frac{1}{24}\ln 2\approx\frac{1}{24}\times0.693\approx0.029$，$\frac{7}{72}\approx0.097$，所以$\frac{1}{24}\ln 2-\frac{7}{72}\approx0.029 - 0.097=-0.068<0$。