4.[填空题]对以往数据分析的结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为90%；而机器发生某一故障时，产品的合格率为30%，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，已知某日早上第一件产品是合格品，试求机器调整良好的概率：____

考查要点：本题主要考查贝叶斯定理和全概率公式的应用，要求根据已知条件概率和先验概率，计算后验概率。

解题核心思路：

1. 明确事件定义：设机器调整良好为事件$A$，产品合格为事件$C$，则需计算$P(A|C)$。
2. 应用全概率公式计算总合格概率$P(C)$，即考虑机器良好和故障两种情况下的合格概率之和。
3. 贝叶斯定理将先验概率$P(A)$转化为后验概率$P(A|C)$。

破题关键点：

• 正确识别条件概率关系（如$P(C|A)=0.9$，$P(C|B)=0.3$）。
• 区分先验概率（如$P(A)=0.75$）与后验概率（$P(A|C)$）。

步骤1：定义事件与已知条件

• 设事件$A$为“机器调整良好”，事件$B$为“机器故障”（$B$为$A$的补事件）。
• 已知：
  • $P(A)=0.75$，$P(B)=1-P(A)=0.25$
  • $P(C|A)=0.9$（机器良好时合格率）
  • $P(C|B)=0.3$（机器故障时合格率）

步骤2：计算总合格概率$P(C)$
根据全概率公式：
$P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B) = 0.9 \times 0.75 + 0.3 \times 0.25 = 0.675 + 0.075 = 0.75$

步骤3：应用贝叶斯定理求$P(A|C)$
根据公式：
$P(A|C) = \frac{P(C|A)P(A)}{P(C)} = \frac{0.9 \times 0.75}{0.75} = 0.9$