设L: x^2 + y^2 = R^2, f(x)为连续函数，试将下列曲线积分的值填在横线上: int_(L) (x + y)^2 ds = ( )A. 2pi R^3B. 0C. pi RD. 2pi R

考查要点：本题主要考查曲线积分的计算，特别是利用参数方程法将曲线积分转化为定积分的能力，以及对三角函数积分性质的掌握。

解题核心思路：

1. 参数化圆周：将圆周方程转换为参数方程，利用角度θ表示x和y，简化积分表达式。
2. 弧长元素替换：根据参数方程计算弧长元素ds，将其转化为关于θ的微分形式。
3. 展开被积函数：利用三角恒等式简化被积函数，分离出可积项。
4. 对称性简化：利用三角函数在整周期内的积分特性（如$\int_0^{2\pi} \sin 2\theta \, d\theta = 0$）快速求解。

破题关键点：

• 参数化选择：正确选择圆周的参数方程$x=R\cos\theta, y=R\sin\theta$。
• 弧长元素计算：明确$ds = R \, d\theta$。
• 平方展开与简化：将$(x+y)^2$展开为$\cos^2\theta + \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta$，并利用$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$和$2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$简化积分。

参数化与弧长元素

将圆周$L: x^2 + y^2 = R^2$参数化为：
$x = R\cos\theta, \quad y = R\sin\theta \quad (0 \leq \theta \leq 2\pi)$
弧长元素$ds$的计算为：
$ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} \, d\theta = R \, d\theta$

曲线积分转化为定积分

将被积函数$(x+y)^2$代入参数方程：
$(x+y)^2 = (R\cos\theta + R\sin\theta)^2 = R^2 (\cos\theta + \sin\theta)^2$
原积分转化为：
$\int_{L} (x+y)^2 \, ds = \int_{0}^{2\pi} R^2 (\cos\theta + \sin\theta)^2 \cdot R \, d\theta = R^3 \int_{0}^{2\pi} (\cos\theta + \sin\theta)^2 \, d\theta$

展开被积函数

利用三角恒等式展开：
$(\cos\theta + \sin\theta)^2 = \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \sin^2\theta = 1 + \sin 2\theta$
因此，积分变为：
$R^3 \int_{0}^{2\pi} (1 + \sin 2\theta) \, d\theta$

计算定积分

分别计算两部分积分：

1. $\int_{0}^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi$
2. $\int_{0}^{2\pi} \sin 2\theta \, d\theta = 0$（因$\sin 2\theta$在一个周期内的积分为0）

最终结果为：
$R^3 \cdot 2\pi = 2\pi R^3$