4【中等】(真题) f(x)= lg (1+x) 在( )内有界.A. (1,+∞)B. (2,+∞)C. (1,2)D. (-1,1)

本题主要考察函数有界性的概念，以及对数函数$\lg(1+x)$的性质。

关键知识点

函数$f(x)=\lg((1+x)$是对数函数，其定义域为$1+x>0$，即$−1,+∞)。对数函数\(\lg t$（$t>0$）的性质：

• 当$−1,+∞)时，\(t=1+x$随$x$增大而增大，故$\lg\\lg(1+x)$在(−1,+∞)上单调递增，且$\lim_{x \to +\infty}\lg(1+x)=\infty$，$\lim_{x \to -1^+}\lg(1+x)=-\infty$。
• 有界的定义：存在$M>0$，对任意$x\in D$（定义域子集），都有$|f(x)\mid\leq M$，则$f(x)$在$D$上有界。

选项分析

• A. (1,+∞)：$x\to+\infty$时，$\lg(1+x)\to+\infty\infty$，无界，排除；
• B. (2,+∞)：同理，$x\to+\infty$时，$\lg(1+x)\to+\infty$，无界，排除；
• C. (1,2)：$1,2)是有限区间，\(\lg(1+x)$在该区间单调递增，故$\lg(2)<12)<\lg(1+x)<\lg(3)$，存在$M=\max\{|\lg2|,\lg3\}$，满足$\mid f(x)\mid\leq M$，有界，正确；
• D. (-1,1)：$x\x\to-1^+$时，$\lg(1+x)\to-\infty$，无界，排除。