题目
设 L 是以 y = x^2，从点 A(-1,1) 到点 B(1,1) 的一段弧则 int_(L) (x + y)^2 dx - (x^2 + y^2 sin y)dy = ( )A. (6)/(15)B. (8)/(3)C. -(8)/(5)D. (16)/(15)
设 $L$ 是以 $y = x^2$，从点 $A(-1,1)$ 到点 $B(1,1)$ 的一段弧则 $\int_{L} (x + y)^2 dx - (x^2 + y^2 \sin y)dy = (\quad)$
A. $\frac{6}{15}$
B. $\frac{8}{3}$
C. $-\frac{8}{5}$
D. $\frac{16}{15}$
题目解答
答案
D. $\frac{16}{15}$
解析
步骤 1：参数化曲线
曲线 $L$ 可以参数化为 $y = x^2$，从点 $A(-1,1)$ 到点 $B(1,1)$。因此，$dy = 2x \, dx$。
步骤 2：代入积分
将参数化后的 $y$ 和 $dy$ 代入原积分中，得到： \[ \int_{L} (x + y)^2 dx - (x^2 + y^2 \sin y)dy = \int_{-1}^{1} \left[ (x + x^2)^2 \, dx - (x^2 + x^4 \sin x^2) \cdot 2x \, dx \right]. \]
步骤 3：化简被积函数
化简被积函数： \[ (x + x^2)^2 = x^2 + 2x^3 + x^4, \quad (x^2 + x^4 \sin x^2) \cdot 2x = 2x^3 + 2x^5 \sin x^2, \] \[ \text{被积函数} = x^2 + x^4 - 2x^5 \sin x^2. \]
步骤 4：计算积分
由于 $2x^5 \sin x^2$ 是奇函数，其在对称区间上的积分为0。故只需计算： \[ \int_{-1}^{1} (x^2 + x^4) \, dx = \int_{-1}^{1} x^2 \, dx + \int_{-1}^{1} x^4 \, dx = \frac{2}{3} + \frac{2}{5} = \frac{16}{15}. \]
曲线 $L$ 可以参数化为 $y = x^2$，从点 $A(-1,1)$ 到点 $B(1,1)$。因此，$dy = 2x \, dx$。
步骤 2：代入积分
将参数化后的 $y$ 和 $dy$ 代入原积分中，得到： \[ \int_{L} (x + y)^2 dx - (x^2 + y^2 \sin y)dy = \int_{-1}^{1} \left[ (x + x^2)^2 \, dx - (x^2 + x^4 \sin x^2) \cdot 2x \, dx \right]. \]
步骤 3：化简被积函数
化简被积函数： \[ (x + x^2)^2 = x^2 + 2x^3 + x^4, \quad (x^2 + x^4 \sin x^2) \cdot 2x = 2x^3 + 2x^5 \sin x^2, \] \[ \text{被积函数} = x^2 + x^4 - 2x^5 \sin x^2. \]
步骤 4：计算积分
由于 $2x^5 \sin x^2$ 是奇函数，其在对称区间上的积分为0。故只需计算： \[ \int_{-1}^{1} (x^2 + x^4) \, dx = \int_{-1}^{1} x^2 \, dx + \int_{-1}^{1} x^4 \, dx = \frac{2}{3} + \frac{2}{5} = \frac{16}{15}. \]