(15) int dfrac ({x)^2}(sqrt {1-{x)^2}}dx

考查要点：本题主要考查三角替换法在不定积分中的应用，以及分部积分法的综合运用能力。关键在于通过适当的变量替换将被积函数转化为易处理的形式。

解题核心思路：
观察到分母为$\sqrt{1-x^2}$，自然联想到使用三角替换，令$x = \sin\theta$，从而将根号部分简化为$\cos\theta$。随后，将积分转化为关于$\theta$的三角函数积分，利用降幂公式简化计算，最后通过反三角函数回代得到最终结果。

破题关键点：

1. 选择正确的三角替换，将根号消去；
2. 灵活运用三角恒等式（如$\sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}$）简化积分；
3. 准确回代，将结果转换为关于$x$的表达式。

三角替换法

步骤1：变量替换
令$x = \sin\theta$，则$dx = \cos\theta \, d\theta$，且$\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta$。

步骤2：改写积分
原积分变为：
$\int \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \cdot \cos\theta \, d\theta = \int \sin^2\theta \, d\theta$

步骤3：降幂处理
利用恒等式$\sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}$，积分化简为：
$\int \frac{1-\cos2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2}\int 1 \, d\theta - \frac{1}{2}\int \cos2\theta \, d\theta$

步骤4：逐项积分
计算得：
$\frac{1}{2}\theta - \frac{1}{4}\sin2\theta + C$

步骤5：回代变量
由$x = \sin\theta$得$\theta = \arcsin x$，且$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2x\sqrt{1-x^2}$，代入后结果为：
$\frac{1}{2}\arcsin x - \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + C$