[题目]-|||-数列(xn )收敛是数列(xn )有界的(); ()-|||-A.必要条件 B.充分条件C.充要条件D无关条件

考查要点：本题主要考查数列收敛与有界之间的逻辑关系，即判断数列收敛是否为数列有界的某种条件（必要、充分、充要或无关）。

解题核心思路：

1. 明确概念：数列收敛的定义（存在极限）与数列有界的定义（存在统一界）。
2. 定理回顾：收敛数列必有界（收敛⇒有界），但有界数列不一定收敛（如震荡数列）。
3. 条件关系推导：根据上述定理，判断收敛与有界之间的条件关系。

破题关键点：

• 充分条件的定义：若A成立则B一定成立，但B成立时A不一定成立，则A是B的充分条件。
• 本题中，数列收敛（A）能保证数列有界（B），但数列有界（B）不能保证数列收敛（A），因此A是B的充分条件。

步骤1：理解数列收敛与有界的定义

• 数列收敛：存在实数$a$，使得对任意$\varepsilon > 0$，存在$N$，当$n > N$时，$|x_n - a| < \varepsilon$。
• 数列有界：存在正数$M$，使得对所有$n$，$|x_n| \leq M$。

步骤2：分析收敛与有界的关系

1. 收敛⇒有界：
   若数列收敛于$a$，则存在$N$，当$n > N$时，$|x_n - a| < 1$，即$|x_n| \leq |a| + 1$。
   对前$N$项，取最大值$M_1 = \max\{|x_1|, |x_2|, \dots, |x_N|\}$，则整体取$M = \max\{M_1, |a| + 1\}$，数列有界。

2. 有界⇏收敛：
   反例：数列$\{(-1)^n\}$有界（$|(-1)^n| \leq 1$），但发散（在$-1$和$1$间震荡）。

步骤3：判断条件类型

• 充分条件：收敛是数列有界的充分条件（收敛⇒有界）。
• 非必要条件：有界数列不一定收敛，因此有界不是收敛的必要条件。