题目
(4) lim _(xarrow 0)dfrac (1-cos 2x)(xsin x) =

题目解答
答案

解析
步骤 1:利用三角恒等式简化分子
我们知道 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$,因此 $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$。所以原式可以写为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\sin^2 x}{x\sin x}$。
步骤 2:简化表达式
将分子和分母中的 $\sin x$ 约去,得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\sin x}{x}$。
步骤 3:应用重要极限
我们知道 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x} = 1$,因此原式简化为 $2 \times 1 = 2$。
我们知道 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$,因此 $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$。所以原式可以写为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\sin^2 x}{x\sin x}$。
步骤 2:简化表达式
将分子和分母中的 $\sin x$ 约去,得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\sin x}{x}$。
步骤 3:应用重要极限
我们知道 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x} = 1$,因此原式简化为 $2 \times 1 = 2$。