已知(an)是等差数列，(bn)是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4．（1）证明：a1=b1；（2）求集合(k|bk=am+a1，1≤m≤500)中元素的个数．

考查要点：本题综合考查等差数列与等比数列的通项公式，以及方程求解的能力。
解题思路：

1. 第一问：通过等差数列与等比数列的通项公式，结合题目给出的等式关系，建立方程求解公差与首项的关系，最终证明首项相等。
2. 第二问：利用第一问的结论，将条件转化为关于$k$和$m$的方程，结合$m$的范围确定$k$的可能取值个数。
   关键点：

• 等差数列与等比数列的通项公式是解题基础。
• 方程变形与指数方程的解法是第二问的核心。

第（1）题

设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，等比数列$\{b_n\}$的公比为$2$，则通项分别为：
$a_n = a_1 + (n-1)d, \quad b_n = b_1 \cdot 2^{n-1}.$

根据条件$a_2 - b_2 = a_3 - b_3$：
$\begin{aligned}(a_1 + d) - 2b_1 &= (a_1 + 2d) - 4b_1, \\a_1 + d - 2b_1 &= a_1 + 2d - 4b_1, \\d - 2b_1 &= 2d - 4b_1, \\d &= 2b_1.\end{aligned}$

根据条件$a_2 - b_2 = b_4 - a_4$：
$\begin{aligned}(a_1 + d) - 2b_1 &= 8b_1 - (a_1 + 3d), \\a_1 + d - 2b_1 &= 8b_1 - a_1 - 3d, \\2a_1 + 4d &= 10b_1.\end{aligned}$

将$d = 2b_1$代入上式：
$2a_1 + 4 \cdot 2b_1 = 10b_1 \implies 2a_1 = 2b_1 \implies a_1 = b_1.$

第（2）题

由（1）知$d = 2a_1$，等差数列通项为：
$a_m = a_1 + (m-1) \cdot 2a_1 = a_1(2m - 1).$

等比数列通项为：
$b_k = a_1 \cdot 2^{k-1}.$

根据条件$b_k = a_m + a_1$：
$\begin{aligned}a_1 \cdot 2^{k-1} &= a_1(2m - 1) + a_1, \\2^{k-1} &= 2m \implies m = 2^{k-2}.\end{aligned}$

结合$1 \leq m \leq 500$：
$1 \leq 2^{k-2} \leq 500 \implies 2 \leq k \leq 10.$

因此，$k$的可能取值为$2, 3, \dots, 10$，共$9$个值。