18.计算曲线积分 =(int )_(L)^((x^2+y)dx+(x+sqrt {y))dy} ,其中L为从点O(0,0)经过点A(1,0)-|||-到点B(1,1)的一段折线.

本题考查对坐标的曲线积分计算，关键是将折线积分拆分为分段积分，再分别计算每段积分。

步骤1：拆分折线路径

曲线$L$是从$O(0,0)$经$A(1,0)$到$B(1,1)$的折线，拆分为两段：

• $L_1$：从$O(0,0)$到$A(1,0)$（水平线段，$y=0$，$dy=0$）；
• $L_2$：从$A(1,0)$到$B(1,1)$（竖直线段，$x=1$，$dx=0$）。

步骤2：计算$L_1$的积分$I_1$

在$L_1$上：$y=0$，$dy=0$，$x$从$0$到$1$，则：
$I_1 = \int_{L_1} (x^2 + y)dx + (x + \sqrt{y})dy = \int_{0}^{1} (x^2 + 0)dx + 0 = \int_{0}^{1} x^2 dx$
计算积分：
$\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$

步骤3：计算$L_2$的积分$I_2$

在$L_2$上：$x=1$，$dx=0$，$y$从$0$到$1$，则：
$I_2 = \int_{L_2} (x^2 + y)dx + (x + \sqrt{y})dy = 0 + \int_{0}^{1} (1 + \sqrt{y})dy$
计算积分：
$\int_{0}^{1} (1 + \sqrt{y})dy = \int_{0}^{1} 1dy + \int_{0}^{1} y^{\frac{1}{2}}dy = \left[y\right]_0^1 + \left[\frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}}\right]_0^1 = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$

步骤4：总积分$I = I_1 + I_2$

$I = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = 2$