133.求下列向量组的一个最大线性无关组及向量组的秩.-|||-(alpha )_(1)=(2,1,3,-1) , (alpha )_(2)=(3,-1,2,0),-|||-_(3)=(4,2,6,-2) , _(4)=(4,-3,1,1).

考查要点：本题要求确定向量组的最大线性无关组及其秩，核心在于通过矩阵的行变换分析向量间的线性关系。

解题思路：

1. 构造矩阵：将向量组作为列向量构成矩阵。
2. 行简化阶梯形变换：通过行变换确定主元位置，主元所在列对应的原向量即为最大线性无关组。
3. 秩的判定：主元个数即为向量组的秩。

关键点：

• 线性相关性：若某列全为0或可被其他列线性表示，则该向量线性相关。
• 主元位置：行简化后非零行的第一个非零元素所在列对应原向量。

将向量组构成矩阵并进行行变换：

$A = \begin{bmatrix}2 & 3 & 4 & 4 \\1 & -1 & 2 & -3 \\3 & 2 & 6 & 1 \\-1 & 0 & -2 & 1\end{bmatrix}$

行变换过程：

1. 第一列处理：以2为主元，消去下方元素，得到：
   $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 & 4 \\ 0 & -\frac{5}{2} & 0 & -5 \\ 0 & -\frac{5}{2} & 0 & -5 \\ 0 & \frac{3}{2} & 0 & 3 \end{bmatrix}$

2. 第二列处理：以$-\frac{5}{2}$为主元，消去下方和右方元素，得到：
   $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3. 回代化简：最终得到行简化阶梯形：
   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

结论：

• 主元位置：第1列和第2列，对应原向量$\alpha_1$和$\alpha_2$。
• 秩：主元个数为2，故秩为2。