题目
已知函数 (x)=dfrac (sin ({x)^2-1)}(2(x-1)), 要使f(x)在 (-infty ,+infty ) 内连续,则应补充定义 f(1)=-|||-A-|||-A.1 B.0 C.2 D. dfrac (1)(2)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数在x=1处的极限
为了使函数$f(x)=\dfrac {\sin ({x}^{2}-1)}{2(x-1)}$在$x=1$处连续，我们需要计算当$x$趋近于$1$时，$f(x)$的极限值。这可以通过应用洛必达法则来实现，因为当$x=1$时，分子和分母都趋近于$0$，形成$\frac{0}{0}$的不定型。
步骤 2：应用洛必达法则
根据洛必达法则，我们对分子和分母分别求导，然后计算导数的比值在$x=1$处的极限。
分子的导数为：$\frac{d}{dx}(\sin(x^2-1)) = 2x\cos(x^2-1)$
分母的导数为：$\frac{d}{dx}(2(x-1)) = 2$
步骤 3：计算极限值
将$x=1$代入导数的比值中，得到：
$\lim_{x \to 1} \frac{2x\cos(x^2-1)}{2} = \frac{2\cdot1\cdot\cos(1^2-1)}{2} = \cos(0) = 1$
为了使函数$f(x)=\dfrac {\sin ({x}^{2}-1)}{2(x-1)}$在$x=1$处连续，我们需要计算当$x$趋近于$1$时，$f(x)$的极限值。这可以通过应用洛必达法则来实现，因为当$x=1$时，分子和分母都趋近于$0$，形成$\frac{0}{0}$的不定型。
步骤 2：应用洛必达法则
根据洛必达法则，我们对分子和分母分别求导，然后计算导数的比值在$x=1$处的极限。
分子的导数为：$\frac{d}{dx}(\sin(x^2-1)) = 2x\cos(x^2-1)$
分母的导数为：$\frac{d}{dx}(2(x-1)) = 2$
步骤 3：计算极限值
将$x=1$代入导数的比值中，得到：
$\lim_{x \to 1} \frac{2x\cos(x^2-1)}{2} = \frac{2\cdot1\cdot\cos(1^2-1)}{2} = \cos(0) = 1$