设 C: |z+1|=(1)/(2)，则 int_(C) (sin frac(pi)/(4) z)(z^2-1) dz=A. 2pi iB. -(sqrt(2))/(2) pi iC. sqrt(2) pi iD. (sqrt(2))/(2) pi i

考查要点：本题主要考查复变函数中的留数定理应用，涉及积分路径内奇点的判断及一阶极点留数的计算。

解题核心思路：

1. 确定积分路径：曲线$C$是以$-1$为中心、半径为$\frac{1}{2}$的圆。
2. 分析被积函数的奇点：分母$z^2-1$分解为$(z-1)(z+1)$，奇点为$z=1$和$z=-1$。
3. 判断奇点是否在积分路径内：$z=-1$在圆内，$z=1$在圆外。
4. 计算留数：在$z=-1$处为一阶极点，利用留数公式求解。
5. 应用留数定理：积分结果为$2\pi i$乘以留数。

破题关键：正确识别积分路径内的奇点，并准确计算对应留数。

步骤1：确定积分路径与奇点位置

曲线$C: |z+1| = \frac{1}{2}$是以$-1$为中心、半径$\frac{1}{2}$的圆。被积函数$\frac{\sin\frac{\pi}{4}z}{z^2-1}$的奇点为$z=1$和$z=-1$。

• $z=-1$到圆心$-1$的距离为$0$，小于半径$\frac{1}{2}$，故在圆内。
• $z=1$到圆心$-1$的距离为$2$，远大于半径$\frac{1}{2}$，故在圆外。

步骤2：计算$z=-1$处的留数

被积函数可写为$\frac{\sin\frac{\pi}{4}z}{(z-1)(z+1)}$，在$z=-1$处为一阶极点。
根据留数公式：
$\text{Res}\left(f, -1\right) = \lim_{z \to -1} (z+1) \cdot \frac{\sin\frac{\pi}{4}z}{(z-1)(z+1)} = \lim_{z \to -1} \frac{\sin\frac{\pi}{4}z}{z-1}$
代入$z=-1$：
$\frac{\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)}{-1-1} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

步骤3：应用留数定理

积分结果为：
$\int_{C} \frac{\sin\frac{\pi}{4}z}{z^2-1} dz = 2\pi i \cdot \text{Res}\left(f, -1\right) = 2\pi i \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\pi i$