题目
12.由 =(x)^3 ,=2, y=0 所围成的图形,分别绕x轴及y轴旋转,计算所得两个旋转体的体积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定旋转体的体积公式
旋转体的体积可以通过积分来计算。绕x轴旋转的体积公式为 ${V}_{x}={\int }_{a}^{b}\pi {f(x)}^{2}dx$，绕y轴旋转的体积公式为 ${V}_{y}={\int }_{a}^{b}2\pi x\cdot f(x)dx$，其中 $f(x)$ 是旋转曲线的函数，$a$ 和 $b$ 是旋转区间的端点。
步骤 2：计算绕x轴旋转的体积
给定的曲线是 $y={x}^{3}$，旋转区间是 $0\leq x\leq 2$。将 $f(x)={x}^{3}$ 代入绕x轴旋转的体积公式，得到 ${V}_{x}={\int }_{0}^{2}\pi {({x}^{3})}^{2}dx$。计算这个积分，得到 ${V}_{x}=\pi {\int }_{0}^{2}{x}^{6}dx=\pi \left[\dfrac{{x}^{7}}{7}\right]_{0}^{2}=\pi \left(\dfrac{{2}^{7}}{7}-\dfrac{{0}^{7}}{7}\right)=\dfrac{128}{7}\pi$。
步骤 3：计算绕y轴旋转的体积
给定的曲线是 $y={x}^{3}$，旋转区间是 $0\leq x\leq 2$。将 $f(x)={x}^{3}$ 代入绕y轴旋转的体积公式，得到 ${V}_{y}={\int }_{0}^{2}2\pi x\cdot {x}^{3}dx$。计算这个积分，得到 ${V}_{y}=2\pi {\int }_{0}^{2}{x}^{4}dx=2\pi \left[\dfrac{{x}^{5}}{5}\right]_{0}^{2}=2\pi \left(\dfrac{{2}^{5}}{5}-\dfrac{{0}^{5}}{5}\right)=\dfrac{64}{5}\pi$。
旋转体的体积可以通过积分来计算。绕x轴旋转的体积公式为 ${V}_{x}={\int }_{a}^{b}\pi {f(x)}^{2}dx$，绕y轴旋转的体积公式为 ${V}_{y}={\int }_{a}^{b}2\pi x\cdot f(x)dx$，其中 $f(x)$ 是旋转曲线的函数，$a$ 和 $b$ 是旋转区间的端点。
步骤 2：计算绕x轴旋转的体积
给定的曲线是 $y={x}^{3}$，旋转区间是 $0\leq x\leq 2$。将 $f(x)={x}^{3}$ 代入绕x轴旋转的体积公式，得到 ${V}_{x}={\int }_{0}^{2}\pi {({x}^{3})}^{2}dx$。计算这个积分，得到 ${V}_{x}=\pi {\int }_{0}^{2}{x}^{6}dx=\pi \left[\dfrac{{x}^{7}}{7}\right]_{0}^{2}=\pi \left(\dfrac{{2}^{7}}{7}-\dfrac{{0}^{7}}{7}\right)=\dfrac{128}{7}\pi$。
步骤 3：计算绕y轴旋转的体积
给定的曲线是 $y={x}^{3}$，旋转区间是 $0\leq x\leq 2$。将 $f(x)={x}^{3}$ 代入绕y轴旋转的体积公式，得到 ${V}_{y}={\int }_{0}^{2}2\pi x\cdot {x}^{3}dx$。计算这个积分，得到 ${V}_{y}=2\pi {\int }_{0}^{2}{x}^{4}dx=2\pi \left[\dfrac{{x}^{5}}{5}\right]_{0}^{2}=2\pi \left(\dfrac{{2}^{5}}{5}-\dfrac{{0}^{5}}{5}\right)=\dfrac{64}{5}\pi$。