题目

在[0, pi]上，由轴与正弦曲线y=sin x所围图形的面积为（）A 1B 2C 5D 6

在$[0, \pi]$上，由 轴与正弦曲线$y=\sin x$所围图形的面积为（） A 1 B 2 C 5 D 6

题目解答

答案

我们要求的是在区间 $[0, \pi]$ 上，由 **x轴** 和 **正弦曲线** $y = \sin x$ 所围成的图形的面积。 --- ### 一、理解题意： - 曲线是 $y = \sin x$。 - 区间是 $[0, \pi]$。 - 所围图形是由 x 轴（即 $y = 0$）和正弦曲线 $y = \sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上所围成的图形。 - 所以，我们要计算的是：在 $[0, \pi]$ 上，$\sin x$ 在 x 轴上方的部分与 x 轴之间的面积。 --- ### 二、建立积分表达式： 在区间 $[0, \pi]$ 上，$\sin x \ge 0$，所以面积可以直接用定积分计算： $$ \text{面积} = \int_0^\pi \sin x \, dx $$ --- ### 三、计算积分： $$ \int_0^\pi \sin x \, dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 $$ --- ### 四、结论： 所围图形的面积是 **2**。 --- ### 答案： $$ \boxed{B\ 2} $$

解析

考查要点：本题主要考查利用定积分计算平面图形的面积，重点在于理解积分几何意义及正确应用积分公式。

解题核心思路：

  1. 确定积分区间：题目明确给出区间为$[0, \pi]$，无需额外求交点。
  2. 判断曲线位置：在$[0, \pi]$上，$\sin x \geq 0$，因此图形位于x轴上方，面积可直接用定积分计算。
  3. 应用积分公式：利用$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$直接求解。

破题关键点：

  • 明确积分上下限：直接代入$0$和$\pi$。
  • 正确计算定积分：注意符号处理，避免计算错误。

步骤1：建立积分表达式
在区间$[0, \pi]$上，$\sin x \geq 0$，因此所求面积为：
$\text{面积} = \int_0^\pi \sin x \, dx$

步骤2：计算定积分
根据积分公式$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$，得：
$\int_0^\pi \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_0^\pi$

步骤3：代入上下限
计算上下限代入结果：
$\begin{aligned}\left[ -\cos x \right]_0^\pi &= -\cos \pi - (-\cos 0) \\&= -(-1) - (-1) \\&= 1 + 1 \\&= 2\end{aligned}$

结论：所围图形的面积为$2$，对应选项B。