int f(x), dx = xe^x + C，则 int f(2x), dx = ( )A. 2xe^2x + CB. 2xe^x + CC. xe^x + CD. xe^2x + C

考查要点：本题主要考查不定积分的求解方法，特别是通过已知积分结果反推原函数，再结合变量替换和分部积分法进行计算。

解题核心思路：

1. 确定原函数：根据已知积分结果 $\int f(x) \, dx = xe^x + C$，对两边求导得到 $f(x)$。
2. 变量替换：将 $f(x)$ 中的 $x$ 替换为 $2x$，得到 $f(2x)$。
3. 分部积分法：对被积函数 $(2x+1)e^{2x}$ 进行分部积分，逐步化简求解。

破题关键点：

• 导数与积分的关系：通过求导确定原函数 $f(x)$。
• 变量替换后的积分处理：注意替换后被积函数的结构，选择合适的分部积分策略。

步骤1：求原函数 $f(x)$

已知 $\int f(x) \, dx = xe^x + C$，对两边求导得：
$f(x) = \frac{d}{dx}(xe^x + C) = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

步骤2：求 $f(2x)$

将 $x$ 替换为 $2x$，得：
$f(2x) = (2x+1)e^{2x}$

步骤3：分部积分求 $\int (2x+1)e^{2x} \, dx$

设 $u = 2x+1$，$dv = e^{2x} \, dx$，则 $du = 2 \, dx$，$v = \frac{1}{2}e^{2x}$。根据分部积分公式：
$\begin{aligned}\int (2x+1)e^{2x} \, dx &= (2x+1) \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} \cdot 2 \, dx \\&= \frac{1}{2}(2x+1)e^{2x} - \int e^{2x} \, dx \\&= \frac{1}{2}(2x+1)e^{2x} - \frac{1}{2}e^{2x} + C \\&= \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot e^{2x} + C \\&= xe^{2x} + C\end{aligned}$