非齐次线性方程组 ) 4(x)_(1)+2(x)_(2)-(x)_(3)=2 3(x)_(1)-(x)_(2)+2(x)_(3)=10 11(x)_(1)+3(x)_(2)=8 .

考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组解的存在性判断，核心在于系数矩阵与增广矩阵的秩是否相等。若秩相等则有解，否则无解。

解题思路：

1. 构造增广矩阵，通过初等行变换化为阶梯形矩阵。
2. 比较系数矩阵和增广矩阵的秩。若秩相等，方程组有解；若增广矩阵的秩更大，则无解。

破题关键：通过行变换发现增广矩阵中出现类似“$0=非零常数$”的矛盾方程，直接判定无解。

步骤1：构造增广矩阵

方程组的增广矩阵为：
$\overline{A} = \begin{pmatrix}4 & 2 & -1 & 2 \\3 & -1 & 2 & 10 \\11 & 3 & 0 & 8\end{pmatrix}$

步骤2：初等行变换化简

1. 第一行为主元行，消去第二、第三行的$x_1$项：

   • $r_2 \leftarrow r_2 - \frac{3}{4}r_1$：第二行变为$\begin{pmatrix}0 & -\frac{5}{2} & \frac{11}{4} & \frac{17}{2}\end{pmatrix}$。
   • $r_3 \leftarrow r_3 - \frac{11}{4}r_1$：第三行变为$\begin{pmatrix}0 & -\frac{5}{2} & \frac{11}{4} & \frac{5}{2}\end{pmatrix}$。

2. 第二行为主元行，消去第三行的$x_2$项：

   • $r_3 \leftarrow r_3 - r_2$：第三行变为$\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & -6\end{pmatrix}$。

化简后的增广矩阵为：
$\begin{pmatrix}4 & 2 & -1 & 2 \\0 & -\frac{5}{2} & \frac{11}{4} & \frac{17}{2} \\0 & 0 & 0 & -6\end{pmatrix}$

步骤3：判断秩

• 系数矩阵$A$的秩：化简后前两行非零，秩为2。
• 增广矩阵$\overline{A}$的秩：第三行出现矛盾方程$0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = -6$，秩为3。

结论：$r(A) \neq r(\overline{A})$，方程组无解。