题目

曲线{2x^2+3y^2+z^2=9 z^2=3x^2+y^2.在点M_0(1,-1,2)处的切线方程是（） A. (x-1)/(8)=(y+1)/(7)=(z-2)/(10)B. (x-1)/(10)=(y+1)/(8)=(z-2)/(7)C. (x+1)/(8)=(y-1)/(10)=(z-2)/(7)

曲线$\left\{\begin{array}{l}2x^2+3y^2+z^2=9 \\ z^2=3x^2+y^2\end{array}\right.$在点$M_0(1,-1,2)$处的切线方程是（）

  • A. $\frac{x-1}{8}=\frac{y+1}{7}=\frac{z-2}{10}$
  • B. $\frac{x-1}{10}=\frac{y+1}{8}=\frac{z-2}{7}$
  • C. $\frac{x+1}{8}=\frac{y-1}{10}=\frac{z-2}{7}$

题目解答

答案

1. **求曲面法向量** 对两曲面求梯度： \[ \nabla F = (4x, 6y, 2z), \quad \nabla G = (6x, 2y, -2z) \] 在点 $M_0(1, -1, 2)$ 处： \[ \nabla F|_{M_0} = (4, -6, 4), \quad \nabla G|_{M_0} = (6, -2, -4) \] 2. **计算切线方向向量** 叉积 $\mathbf{d} = \nabla F \times \nabla G$： \[ \mathbf{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -6 & 4 \\ 6 & -2 & -4 \end{vmatrix} = (8, 10, 7) \] 3. **写出切线方程** 切线方程为： \[ \frac{x - 1}{8} = \frac{y + 1}{10} = \frac{z - 2}{7} \] **答案：** $\boxed{A}$

解析

本题考查空间空间曲线切线方程的求解，，解题思路如下：

  1. 首先明确空间曲线是由两个曲面相交得到的，要求曲线在某点处的切线方程，需要先求出该切线的方向向量。
  2. 对于曲面$F(x,y,z)=0$和$G(x,y,z ,z)=0$，其在某点处的法向量分别为该点处的梯度$\nabla F$和$\nabla G$。
  3. 曲线在该点处的切线方向向量$\vec{d}$与两个曲面在该点处的法向量都垂直，根据向量叉乘的性质，可通过计算两个法向量的叉积$\vec{d}=\nabla F\times\nabla G$得到切线方向向量。
  4. 最后根据直线的点向式方程$\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}$（其中$(x_0,y_0,z_0)$为直线上一点，$(m,n,p)$为直线的方向向量）写出切线方程。

下面进行详细的解答：

  1. **求曲面法向量：
    设$F(x,y,z)=2x^{2}+3y^{2}+z^{2}-9$，$G(x,y,z)=z^{2}-3x^{2}-y^{2}$。
    根据梯度公式$\nabla F = (\frac{\partial F}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial F}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial F}{\partial z}\vec{k}$，$\nabla G=\frac{\partial G}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial G}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial G}{\partial z}\vec{k}$，分别对$F$和$G$求偏导数：
    $\frac{\partial F}{\partial x}=4x$，$\frac{\partial F}{\partial y}=6y$，$\frac{\frac{\partial F}{\partial z}=2z$，所以$\nabla F=(4x,6y,2z)$。
    $\frac{\partial G}{\partial x}=-6x$，$\frac{\partial G}{\partial y}=-2y$，$\frac{\partial G}{\partial z}=2z$，所以$\nabla G=(-6x,-2y,2z)$。
    将点$M_0(1,-1,2)$代入$\nabla F$和$\nabla G$中：
    $\nabla F|_{M_0}=(4\times1,6\times(-1),2\times2)=(4,-6,4)$，$\nabla G|_{M_0}=(-6\times1,-2\times(-1),2\times2)=(-6,2,4)$。
    2.计算切线方向向量：
    根据向量叉乘公式$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}=\vec{i}(a_2b_3 - a_3b_2)-\vec{j}(a_1b_3 - a_3b_1)+\vec{k}(a_1b_2 - a_2b_1)$，计算$\vec{d}=\nabla F\times\nabla G$：
    $\vec{d}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\4&-6&4\\-6&2&4\end{vmatrix}=\vec{i}((-6)\times4 - 4\times2)-\vec{j}(4\times4 - 4\times(-6))+\vec{k}(4\times2 - (-6)\times(-6)$
    $=\vec{i}(-24 - 8)-\vec{j}(16 + 24)+\vec{k}(8 + 36)$
    \(=-32\vec{i}-40\vec{j}+44\vec{k\\)
    为了简化，可将方向向量同除以$-4$，得到$\vec{d}=(8,10,7)$。
    3.写出切线方程：
    已知点$M_0(1,-1,2)$和切线方向向量$\ d=(8,10,7)$，根据直线的点向式方程$\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}$，可得切线方程为$\frac{x - 1}{8}=\frac{y + 1}{10}=\frac{z - 2}{7}$。