题目
6. 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 R（A）=R（B）， 则（ ）A. AB=BA;B. 存在可逆矩阵 P, 使 P-1AP=B;C. 存在可逆矩阵 C, 使 CTAC=B;D. 存在可逆矩阵 P、Q，使 PAQ=B.
6. 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 R（A）=R（B）， 则（ ）
A. AB=BA;
B. 存在可逆矩阵 P, 使 P-1AP=B;
C. 存在可逆矩阵 C, 使 CTAC=B;
D. 存在可逆矩阵 P、Q，使 PAQ=B.
题目解答
答案
D. 存在可逆矩阵 P、Q，使 PAQ=B.
解析
步骤 1：理解矩阵的秩
矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大数目。如果两个矩阵 A 和 B 的秩相等，即 R(A) = R(B)，则它们具有相同的线性无关行或列的数量。
步骤 2：分析选项 A
选项 A 表示 AB = BA，即矩阵 A 和 B 交换乘法顺序后结果相同。这并不一定成立，因为矩阵乘法不满足交换律，除非 A 和 B 是可交换矩阵。
步骤 3：分析选项 B
选项 B 表示存在可逆矩阵 P，使得 P^{-1}AP = B。这表示矩阵 A 和 B 是相似矩阵。然而，秩相等的矩阵并不一定相似，因为相似矩阵不仅要求秩相等，还要求特征值相同。
步骤 4：分析选项 C
选项 C 表示存在可逆矩阵 C，使得 C^TAC = B。这表示矩阵 A 和 B 是合同矩阵。然而，秩相等的矩阵并不一定合同，因为合同矩阵不仅要求秩相等，还要求正负惯性指数相同。
步骤 5：分析选项 D
选项 D 表示存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 PAQ = B。这表示矩阵 A 和 B 是等价矩阵。根据矩阵等价的定义，如果两个矩阵的秩相等，则它们是等价的。因此，选项 D 是正确的。
矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大数目。如果两个矩阵 A 和 B 的秩相等，即 R(A) = R(B)，则它们具有相同的线性无关行或列的数量。
步骤 2：分析选项 A
选项 A 表示 AB = BA，即矩阵 A 和 B 交换乘法顺序后结果相同。这并不一定成立，因为矩阵乘法不满足交换律，除非 A 和 B 是可交换矩阵。
步骤 3：分析选项 B
选项 B 表示存在可逆矩阵 P，使得 P^{-1}AP = B。这表示矩阵 A 和 B 是相似矩阵。然而，秩相等的矩阵并不一定相似，因为相似矩阵不仅要求秩相等，还要求特征值相同。
步骤 4：分析选项 C
选项 C 表示存在可逆矩阵 C，使得 C^TAC = B。这表示矩阵 A 和 B 是合同矩阵。然而，秩相等的矩阵并不一定合同，因为合同矩阵不仅要求秩相等，还要求正负惯性指数相同。
步骤 5：分析选项 D
选项 D 表示存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 PAQ = B。这表示矩阵 A 和 B 是等价矩阵。根据矩阵等价的定义，如果两个矩阵的秩相等，则它们是等价的。因此，选项 D 是正确的。