题目
4.已知 sum _(n=1)^infty ({a)_(n)}^2 收敛,λ为正常数,则 sum _(n=1)^infty ((-1))^ndfrac (|{a)_(n)|}(sqrt {{n)^2+lambda }} () .-|||-A.绝对收敛 B.条件收敛-|||-C.发散 D.收敛性与λ有关
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定级数的绝对收敛性
由于 $\sum _{n=1}^{\infty }{{a}_{n}}^{2}$ 收敛，根据柯西-施瓦茨不等式，可以推断出 $\sum _{n=1}^{\infty }|{a}_{n}|$ 也收敛。因此，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {|{a}_{n}|}{\sqrt {{n}^{2}+\lambda }}$ 的绝对值级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {|{a}_{n}|}{\sqrt {{n}^{2}+\lambda }}$ 也收敛。
步骤 2：分析级数的收敛性
由于 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {|{a}_{n}|}{\sqrt {{n}^{2}+\lambda }}$ 收敛，根据绝对收敛的定义，原级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {|{a}_{n}|}{\sqrt {{n}^{2}+\lambda }}$ 也绝对收敛。
步骤 3：确定最终答案
根据上述分析，原级数绝对收敛，因此选项A正确。
由于 $\sum _{n=1}^{\infty }{{a}_{n}}^{2}$ 收敛，根据柯西-施瓦茨不等式，可以推断出 $\sum _{n=1}^{\infty }|{a}_{n}|$ 也收敛。因此，级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {|{a}_{n}|}{\sqrt {{n}^{2}+\lambda }}$ 的绝对值级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {|{a}_{n}|}{\sqrt {{n}^{2}+\lambda }}$ 也收敛。
步骤 2：分析级数的收敛性
由于 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {|{a}_{n}|}{\sqrt {{n}^{2}+\lambda }}$ 收敛，根据绝对收敛的定义，原级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {|{a}_{n}|}{\sqrt {{n}^{2}+\lambda }}$ 也绝对收敛。
步骤 3：确定最终答案
根据上述分析，原级数绝对收敛，因此选项A正确。