四、讨论题（共1小题，满分10分）1.已知线性方程组}x_{1)+x_(2)-x_(3)=12x_(1)+(lambda+2)x_(2)-3x_(3)=3-3lambda x_(2)+(lambda+2)x_(3)=-3.，讨论当λ满足什么条件时，方程组无解？有唯一解？有无穷解？（不必求解）
题目解答
答案
对线性方程组
$\left\{\begin{array}{ccc}x_1 + x_2 - x_3 &=& 1 \\2x_1 + (\lambda + 2)x_2 - 3x_3 &=& 3 \\-3\lambda x_2 + (\lambda + 2)x_3 &=& -3\end{array}\right.$
系数矩阵 $A$ 和增广矩阵 $\bar{A}$ 分别为：
$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\2 & \lambda + 2 & -3 \\0 & -3\lambda & \lambda + 2\end{pmatrix}, \quad\bar{A} = \begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 1 \\2 & \lambda + 2 & -3 & 3 \\0 & -3\lambda & \lambda + 2 & -3\end{pmatrix}$
对 $\bar{A}$ 进行初等行变换，得：
$\bar{A} \sim \begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 1 \\0 & \lambda & -1 & 1 \\0 & 0 & \lambda - 1 & 0\end{pmatrix}$
情况分析：
-
$\lambda = 0$：
$r(A) = 2$，$r(\bar{A}) = 3$，方程组无解。 -
$\lambda = 1$：
$r(A) = r(\bar{A}) = 2$，方程组有无穷多解。 -
$\lambda \neq 0$ 且 $\lambda \neq 1$：
$r(A) = r(\bar{A}) = 3$，方程组有唯一解。
结论：
$\boxed{\begin{array}{ll}\lambda = 0 & \text{无解} \\\lambda = 1 & \text{无穷多解} \\\lambda \neq 0 \text{且} \lambda \neq 1 & \text{唯一解}\end{array}}$