题目
交换 int_(1)^2 dx int_(0)^x-1 f(x, y)dy 积分顺序,正确的是() A int_(0)^1 dy int_(0)^1-y f(x, y)dx; B int_(0)^1 dy int_(y+1)^2 f(x, y)dx; C int_(-1)^0 dy int_(2)^1-y f(x, y)dx; D int_(0)^1 dy int_(0)^1-y f(x, y)dx.
交换 $\int_{1}^{2} dx \int_{0}^{x-1} f(x, y)dy$ 积分顺序,正确的是()
A $\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1-y} f(x, y)dx$;
B $\int_{0}^{1} dy \int_{y+1}^{2} f(x, y)dx$;
C $\int_{-1}^{0} dy \int_{2}^{1-y} f(x, y)dx$;
D $\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1-y} f(x, y)dx$.
题目解答
答案
为了交换积分 $\int_{1}^{2} dx \int_{0}^{x-1} f(x,y) dy$ 的顺序，我们需要理解积分区域，然后用 $y$ 和 $y$ 的范围来表示它。
1. **确定积分区域：**
- 外部积分是关于 $x$，从 1 到 2。
- 内部积分是关于 $y$，从 0 到 $x-1$。
因此，积分区域 $R$ 可以描述为：
\[
R = \{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x-1\}
\]
2. **用 $y$ 和 $y$ 的范围来表示区域 $R$：**
- $y$ 的最小值是 0（当 $x = 1$ 时）。
- $y$ 的最大值是 1（当 $x = 2$ 时）。
对于一个固定的 $y$，从 0 到 1，$x$ 的范围从 $y+1$（因为 $y = x-1$ 意味着 $x = y+1$）到 2。
因此，区域 $R$ 也可以描述为：
\[
R = \{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 1, y+1 \leq x \leq 2\}
\]
3. **写出新的积分：**
- 外部积分现在是关于 $y$，从 0 到 1。
- 内部积分现在是关于 $x$，从 $y+1$ 到 2。
因此，交换顺序后的积分是：
\[
\int_{0}^{1} dy \int_{y+1}^{2} f(x,y) dx
\]
所以，正确答案是 $\boxed{B}$。
解析
步骤 1：确定积分区域
- 外部积分是关于 $x$，从 1 到 2。
- 内部积分是关于 $y$，从 0 到 $x-1$。
因此，积分区域 $R$ 可以描述为：
\[ R = \{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x-1\} \]
步骤 2：用 $y$ 和 $y$ 的范围来表示区域 $R$
- $y$ 的最小值是 0（当 $x = 1$ 时）。
- $y$ 的最大值是 1（当 $x = 2$ 时）。
对于一个固定的 $y$，从 0 到 1，$x$ 的范围从 $y+1$（因为 $y = x-1$ 意味着 $x = y+1$）到 2。
因此，区域 $R$ 也可以描述为：
\[ R = \{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 1, y+1 \leq x \leq 2\} \]
步骤 3：写出新的积分
- 外部积分现在是关于 $y$，从 0 到 1。
- 内部积分现在是关于 $x$，从 $y+1$ 到 2。
因此，交换顺序后的积分是：
\[ \int_{0}^{1} dy \int_{y+1}^{2} f(x,y) dx \]
- 外部积分是关于 $x$，从 1 到 2。
- 内部积分是关于 $y$，从 0 到 $x-1$。
因此，积分区域 $R$ 可以描述为：
\[ R = \{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x-1\} \]
步骤 2：用 $y$ 和 $y$ 的范围来表示区域 $R$
- $y$ 的最小值是 0（当 $x = 1$ 时）。
- $y$ 的最大值是 1（当 $x = 2$ 时）。
对于一个固定的 $y$，从 0 到 1，$x$ 的范围从 $y+1$（因为 $y = x-1$ 意味着 $x = y+1$）到 2。
因此，区域 $R$ 也可以描述为：
\[ R = \{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 1, y+1 \leq x \leq 2\} \]
步骤 3：写出新的积分
- 外部积分现在是关于 $y$，从 0 到 1。
- 内部积分现在是关于 $x$，从 $y+1$ 到 2。
因此，交换顺序后的积分是：
\[ \int_{0}^{1} dy \int_{y+1}^{2} f(x,y) dx \]