题目

已知((x+ay)dx + ydy)/((x+y)^2)为某一函数的全微分，则a=（ ）A 0B 2C 3D (1)/(2)

已知$\frac{(x+ay)dx + ydy}{(x+y)^2}$为某一函数的全微分，则$a=$（ ） A 0 B 2 C 3 D $\frac{1}{2}$

题目解答

答案

我们已知表达式： $$ \frac{(x + ay)dx + ydy}{(x + y)^2} $$ 是某一函数的全微分，要求确定参数 $ a $ 的值。 --- ### 第一步：设全微分为某函数的微分 设存在函数 $ f(x, y) $，使得： $$ df = \frac{(x + ay)dx + ydy}{(x + y)^2} $$ 即： $$ df = \frac{x + ay}{(x + y)^2} dx + \frac{y}{(x + y)^2} dy $$ 根据全微分的定义： $$ df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy $$ 因此我们可以设： $$ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + ay}{(x + y)^2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{(x + y)^2} $$ --- ### 第二步：验证混合偏导是否相等 为了 $ f(x, y) $ 存在，必须满足： $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} $$ 即： $$ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x + ay}{(x + y)^2} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{(x + y)^2} \right) $$ 我们分别计算左右两边。 --- #### 左边： $$ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x + ay}{(x + y)^2} \right) $$ 设 $ u = x + ay $, $ v = (x + y)^2 $，则： $$ \frac{d}{dy} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ 其中： - $ u = x + ay \Rightarrow u' = a $ - $ v = (x + y)^2 \Rightarrow v' = 2(x + y) $ 代入得： $$ \frac{a(x + y)^2 - (x + ay) \cdot 2(x + y)}{(x + y)^4} $$ 化简分子： $$ a(x + y)^2 - 2(x + ay)(x + y) $$ 展开： - $ a(x + y)^2 = a(x^2 + 2xy + y^2) $ - $ 2(x + ay)(x + y) = 2[(x)(x + y) + ay(x + y)] = 2(x^2 + xy + axy + ay^2) $ 所以分子为： $$ a(x^2 + 2xy + y^2) - 2(x^2 + xy + axy + ay^2) $$ 展开并整理： - $ a x^2 + 2a xy + a y^2 $ - $ -2x^2 - 2xy - 2a xy - 2a y^2 $ 合并同类项： - $ x^2(a - 2) $ - $ xy(2a - 2 - 2a) = xy(-2) $ - $ y^2(a - 2a) = y^2(-a) $ 所以分子为： $$ (a - 2)x^2 - 2xy - a y^2 $$ 分母为 $ (x + y)^4 $ 所以左边为： $$ \frac{(a - 2)x^2 - 2xy - a y^2}{(x + y)^4} $$ --- #### 右边： $$ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{(x + y)^2} \right) $$ 设 $ u = y $, $ v = (x + y)^2 $，则： $$ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ - $ u = y \Rightarrow u' = 0 $ - $ v = (x + y)^2 \Rightarrow v' = 2(x + y) $ 所以： $$ \frac{0 \cdot (x + y)^2 - y \cdot 2(x + y)}{(x + y)^4} = \frac{-2y(x + y)}{(x + y)^4} $$ 化简： $$ \frac{-2y(x + y)}{(x + y)^4} = \frac{-2y}{(x + y)^3} $$ --- ### 第三步：令两边相等 我们有： $$ \frac{(a - 2)x^2 - 2xy - a y^2}{(x + y)^4} = \frac{-2y}{(x + y)^3} $$ 两边同乘 $ (x + y)^4 $，得： $$ (a - 2)x^2 - 2xy - a y^2 = -2y(x + y) $$ 右边展开： $$ -2y(x + y) = -2xy - 2y^2 $$ 所以： $$ (a - 2)x^2 - 2xy - a y^2 = -2xy - 2y^2 $$ 两边都减去 $ -2xy $，得： $$ (a - 2)x^2 - a y^2 = -2y^2 $$ 移项： $$ (a - 2)x^2 = (a - 2)y^2 $$ 两边都除以 $ a - 2 $（假设 $ a \ne 2 $）： $$ x^2 = y^2 $$ 这只有在 $ x = \pm y $ 时才成立，但题目中要求对所有 $ x, y $ 成立，所以这个等式不能恒成立。 因此，**只有当 $ a - 2 = 0 $，即 $ a = 2 $** 时，两边都为 0，恒成立。 --- ### 最终答案： $$ \boxed{B \ 2} $$

解析

考查要点：本题主要考查全微分方程的条件，即混合偏导数相等的性质。需要根据给定的微分形式，确定其成为某一函数全微分的条件，进而求解参数$a$的值。

解题核心思路：

  1. 全微分条件：若微分形式$Mdx + Ndy$是某一函数$f(x,y)$的全微分，则必须满足$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$。
  2. 关键步骤：
    • 将题目中的微分形式拆分为$M$和$N$，分别计算它们的偏导数。
    • 通过比较偏导数的表达式，建立方程并求解$a$的值。

破题关键点：

  • 正确拆分$M$和$N$，并准确计算偏导数。
  • 化简方程时注意代数运算的准确性，特别是多项式展开和合并同类项。
  • 通过方程恒成立的条件，确定$a$的唯一可能取值。

设存在函数$f(x, y)$，使得其全微分为：
$df = \frac{(x + ay)dx + ydy}{(x + y)^2}$
即：
$df = \frac{x + ay}{(x + y)^2} dx + \frac{y}{(x + y)^2} dy$
根据全微分的定义，有：
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + ay}{(x + y)^2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{(x + y)^2}$

验证混合偏导数相等：

  1. 计算$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x + ay}{(x + y)^2}\right)$：

    • 分子导数为$a(x + y)^2 - (x + ay) \cdot 2(x + y)$，化简后得：
      $\frac{(a - 2)x^2 - 2xy - ay^2}{(x + y)^4}$

  2. 计算$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{(x + y)^2}\right)$：

    • 分子导数为$-2y(x + y)$，化简后得：
      $\frac{-2y}{(x + y)^3}$

  3. 令两边相等：
    $\frac{(a - 2)x^2 - 2xy - ay^2}{(x + y)^4} = \frac{-2y}{(x + y)^3}$
    两边同乘$(x + y)^4$并整理得：
    $(a - 2)x^2 = (a - 2)y^2$
    为使等式对所有$x, y$成立，唯一可能的解为$a - 2 = 0$，即$a = 2$。