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2.求下列不定积分(其中a,b, v,φ均为常数)：v,φv,φv,φv,φ

2.求下列不定积分(其中a,b, $\omega,\phi$ 均为常数)：

$\left(1\right)\int_{ }^{ }e^{5t}dt;\ \ \ \ \ \ \ \ (2)\int_{ }^{ }(3-2x)^3dx;$

$(3)\int_{ }^{ }\frac{dx}{1-2x};\ \ \ \ \ \ \ (4)\int_{ }^{ }\frac{dx}{\sqrt[3]{2-3x}};$

$(5)\int_{ }^{ }(\sin ax-e^{\frac{x}{b}})dx;\ \ \ \ \ (6)\int_{ }^{ }\frac{\sin\sqrt{t}}{\sqrt{t}}dt;$

$(7)\int_{ }^{ }xe^{-x^2}dx;\ \ \ \ (8)\int_{ }^{ }x\cos(x^2)dx;$

题目解答

答案

解：

（1） $\int_{ }^{ }e^{5t}dt$

$=\frac{1}{5}\int_{ }^{ }e^{5t}d\left(5t\right)$

$=\frac{e^{5t}}{5}+C$

（2） $\int_{ }^{ }(3-2x)^3dx$

$=-\frac{1}{2}\int_{ }^{ }(3-2x)^3d\left(3-2x\right)$

$=-\frac{(3-2x)^4}{8}+C$

（3） $\int_{ }^{ }\frac{dx}{1-2x}$

$=-\frac{1}{2}\int_{ }^{ }\frac{d\left(1-2x\right)}{1-2x}$

$=-\frac{1}{2}\ln\left|1-2x\right|+C$

（4） $\int_{ }^{ }\frac{dx}{\sqrt[3]{2-3x}}$

$=-\frac{1}{3}\int_{ }^{ }\frac{d\left(2-3x\right)}{\sqrt[3]{2-3x}}$

$=-\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\left(2-3x\right)^{\frac{2}{3}}+C$

$=-\frac{1}{2}\left(2-3x\right)^{\frac{2}{3}}+C$

（5） $\int_{ }^{ }(\sin ax-e^{\frac{x}{b}})dx$

$=\int_{ }^{ }\sin axdx-\int_{ }^{ }e^{\frac{x}{b}}dx$

$=\frac{1}{a}\int_{ }^{ }\sin axd\left(ax\right)-b\int_{ }^{ }e^{\frac{x}{b}}d\frac{x}{b}$

$=-\frac{1}{a}\cos\left(ax\right)+C_1-be^{\frac{x}{b}}+C_2$

$=-\frac{1}{a}\cos\left(ax\right)-be^{\frac{x}{b}}+C$

（6） $\int_{ }^{ }\frac{\sin\sqrt{t}}{\sqrt{t}}dt$

令 $x=\sqrt{t}$ ,则 $t=x^2$ , $dt=2xdx$

$\int_{ }^{ }\frac{\sin\sqrt{t}}{\sqrt{t}}dt=\int_{ }^{ }\frac{\sin x}{x}\cdot2xdx$

$=2\int_{ }^{ }\sin xdx$

$=-2\cos x+C$

$=-2\cos\sqrt{t}+C$

（7） $\int_{ }^{ }xe^{-x^2}dx$

$=\frac{1}{2}\int_{ }^{ }e^{-x^2}dx^2$

$=-\frac{1}{2}\int_{ }^{ }e^{-x^2}d\left(-x^2\right)$

$=-\frac{e^{-x^2}}{2}+C$

（8） $\int_{ }^{ }x\cos(x^2)dx$

$=\frac{1}{2}\int_{ }^{ }\cos(x^2)dx^2$

$=\frac{1}{2}\sin x^2+C$

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