【0-19-0】设函数f(x,y)可微且满足df(x,y)=-2xe^-ydx+e^-y(x^2-y-1)dy,f(0,0)=2，求f(x,y)，并求f(x,y)的极值。

为了找到函数 $ f(x, y) $ 并求其极值，我们从给定的微分 $ df(x, y) = -2xe^{-y} \, dx + e^{-y}(x^2 - y - 1) \, dy $ 开始。由于 $ df(x, y) $ 是一个全微分，我们可以将 $ f(x, y) $ 表达为 $ x $ 和 $ y $ 的函数。 首先，我们将 $ df(x, y) $ 与全微分的一般形式 $ df(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} \, dx + \frac{\partial f}{\partial y} \, dy $ 进行比较。这给我们以下偏导数： \[ \frac{\partial f}{\partial x} = -2xe^{-y} \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = e^{-y}(x^2 - y - 1) \] 我们从对 $ x $ 的偏导数进行积分开始： \[ f(x, y) = \int -2xe^{-y} \, dx + g(y) \] 由于 $ e^{-y} $ 关于 $ x $ 是常数，我们可以将其从积分中提出： \[ f(x, y) = -2e^{-y} \int x \, dx + g(y) = -2e^{-y} \cdot \frac{x^2}{2} + g(y) = -x^2e^{-y} + g(y) \] 接下来，我们对 $ f(x, y) $ 关于 $ y $ 求偏导数，并将其与给定的偏导数进行比较： \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( -x^2e^{-y} + g(y) \right) = x^2e^{-y} + g'(y) \] 我们知道从给定的微分中： \[ \frac{\partial f}{\partial y} = e^{-y}(x^2 - y - 1) = x^2e^{-y} - ye^{-y} - e^{-y} \] 将两个 $ \frac{\partial f}{\partial y} $ 的表达式相等，我们得到： \[ x^2e^{-y} + g'(y) = x^2e^{-y} - ye^{-y} - e^{-y} \] 从两边减去 $ x^2e^{-y} $，我们得到： \[ g'(y) = -ye^{-y} - e^{-y} = -e^{-y}(y + 1) \] 我们对 $ y $ 积分 $ g'(y) $： \[ g(y) = \int -e^{-y}(y + 1) \, dy \] 我们使用分部积分法来解这个积分。设 $ u = y + 1 $ 和 $ dv = -e^{-y} \, dy $。那么 $ du = dy $ 和 $ v = e^{-y} $。使用分部积分法的公式 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $，我们得到： \[ g(y) = (y + 1)e^{-y} - \int e^{-y} \, dy = (y + 1)e^{-y} + e^{-y} + C = (y + 2)e^{-y} + C \] 因此，函数 $ f(x, y) $ 是： \[ f(x, y) = -x^2e^{-y} + (y + 2)e^{-y} + C = e^{-y}(-x^2 + y + 2) + C \] 我们使用初始条件 $ f(0, 0) = 2 $ 来找到 $ C $： \[ f(0, 0) = e^0(-0^2 + 0 + 2) + C = 2 + C = 2 \] 所以，$ C = 0 $。因此，函数 $ f(x, y) $ 是： \[ f(x, y) = e^{-y}(-x^2 + y + 2) \] 接下来，我们通过将偏导数设置为零来找到 $ f(x, y) $ 的临界点： \[ \frac{\partial f}{\partial x} = -2xe^{-y} = 0 \implies x = 0 \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = e^{-y}(x^2 - y - 1) = 0 \implies x^2 - y - 1 = 0 \implies y = x^2 - 1 \] 将 $ x = 0 $ 代入 $ y = x^2 - 1 $，我们得到 $ y = -1 $。因此，临界点是 $ (0, -1) $。 我们使用二阶导数测试来确定这个临界点的性质。我们计算二阶偏导数： \[ f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -2e^{-y} \] \[ f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = e^{-y}(-x^2 + y + 1 - 1) = e^{-y}(-x^2 + y) \] \[ f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -2x e^{-y} \cdot (-1) = 2x e^{-y} \] 在临界点 $ (0, -1) $ 处，这些二阶偏导数是： \[ f_{xx}(0, -1) = -2e \] \[ f_{yy}(0, -1) = e \cdot (-1) = -e \] \[ f_{xy}(0, -1) = 0 \] 判别式 $ D $ 由下式给出： \[ D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-2e)(-e) - 0^2 = 2e^2 \] 由于 $ D > 0 $ 且 $ f_{xx} < 0 $，临界点 $ (0, -1) $ 是一个局部最大值。该点的 $ f $ 的值是： \[ f(0, -1) = e \cdot (0 + (-1) + 2) = e \cdot 1 = e \] 因此，$ f(x, y) $ 的最大值是 $ e $，并且没有最小值。最终答案是： \[ \boxed{e} \]