题目

【例1.68】lim_(ntoinfty)((1)/(n^2)+n+1+(2)/(n^2)+n+2+...+(n)/(n^2)+n+n)=().

【例1.68】$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=\left(\right).$

题目解答

答案

设 $S_n = \frac{1}{n^2 + n + 1} + \frac{2}{n^2 + n + 2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + n + n}$。利用夹逼准则，构造上下界： - **下界**：分母取最大值 $n^2 + 2n$，则 \[ S_n \geq \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2 + 2n} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2 + 2n} \to \frac{1}{2} \quad (n \to \infty). \] - **上界**：分母取最小值 $n^2 + n + 1$，则 \[ S_n \leq \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2 + n + 1} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2 + n + 1} \to \frac{1}{2} \quad (n \to \infty). \] 由夹逼准则，$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2}$。 **答案：** $\boxed{\frac{1}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的夹逼准则的应用，以及通过构造适当的上下界来求解复杂和式极限的能力。

解题思路：

  1. 观察分母结构：分母为 $n^2 + n + k$，当 $k$ 从 $1$ 到 $n$ 时，分母的取值范围为 $[n^2 + n + 1, n^2 + 2n]$。
  2. 构造上下界：
    • 下界：将每个分式的分母取最大值 $n^2 + 2n$，此时分式值最小，和式整体最小。
    • 上界：将每个分式的分母取最小值 $n^2 + n + 1$，此时分式值最大，和式整体最大。
  3. 计算上下界极限：通过化简上下界的表达式，发现它们的极限均为 $\frac{1}{2}$，从而利用夹逼准则确定原极限值。

设 $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + n + k}$，需证明 $\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2}$。

构造下界

  • 分母取最大值：当 $k = n$ 时，分母 $n^2 + n + k = n^2 + 2n$，此时每个分式 $\frac{k}{n^2 + n + k} \geq \frac{k}{n^2 + 2n}$。
  • 求和：
    $S_n \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + 2n} = \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2 + 2n} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2 + 2n}.$
  • 化简极限：
    $\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2 + 2n} = \frac{n^2 + n}{2(n^2 + 2n)} \to \frac{1}{2} \quad (n \to \infty).$

构造上界

  • 分母取最小值：当 $k = 1$ 时，分母 $n^2 + n + k = n^2 + n + 1$，此时每个分式 $\frac{k}{n^2 + n + k} \leq \frac{k}{n^2 + n + 1}$。
  • 求和：
    $S_n \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + n + 1} = \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2 + n + 1} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2 + n + 1}.$
  • 化简极限：
    $\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2 + n + 1} = \frac{n^2 + n}{2(n^2 + n + 1)} \to \frac{1}{2} \quad (n \to \infty).$

应用夹逼准则

由于 $S_n$ 的上下界均趋近于 $\frac{1}{2}$，根据夹逼准则，原极限为：
$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2}.$