题目
5.填空题varphi_{i)(x)}(i=0,1,...)是区间[0,1]上带权x的最高次项系数为1的正交多项式族，其中varphi_(0)(x)=1，则int_(0)^1xvarphi_(3)(x)dx=____.
5.填空题
$\{\varphi_{i}(x)\}(i=0,1,\cdots)$是区间[0,1]上带权x的最高次项系数为1的正交多项式族，
其中$\varphi_{0}(x)=1$，则$\int_{0}^{1}x\varphi_{3}(x)dx=$____.
题目解答
答案
由正交性，$\varphi_3(x)$ 与 $\varphi_0(x) = 1$ 正交，即：
\[
\int_0^1 x \varphi_3(x) \, dx = 0
\]
因此，答案为 $\boxed{0}$。
解析
步骤 1：理解正交多项式族的性质
正交多项式族 $\{\varphi_{i}(x)\}$ 在区间 [0,1] 上带权 x，意味着对于任意的 $i \neq j$，有 $\int_{0}^{1} x \varphi_{i}(x) \varphi_{j}(x) dx = 0$。特别地，$\varphi_{0}(x) = 1$，所以 $\varphi_{3}(x)$ 与 $\varphi_{0}(x)$ 正交。
步骤 2：应用正交性
根据正交性，$\varphi_{3}(x)$ 与 $\varphi_{0}(x) = 1$ 正交，即：\[ \int_{0}^{1} x \varphi_{3}(x) \, dx = 0 \]
正交多项式族 $\{\varphi_{i}(x)\}$ 在区间 [0,1] 上带权 x，意味着对于任意的 $i \neq j$，有 $\int_{0}^{1} x \varphi_{i}(x) \varphi_{j}(x) dx = 0$。特别地，$\varphi_{0}(x) = 1$，所以 $\varphi_{3}(x)$ 与 $\varphi_{0}(x)$ 正交。
步骤 2：应用正交性
根据正交性，$\varphi_{3}(x)$ 与 $\varphi_{0}(x) = 1$ 正交，即：\[ \int_{0}^{1} x \varphi_{3}(x) \, dx = 0 \]