设a_(1)=(1,1,2,2,1)^T,a_(2)=(0,2,1,5,-1)^T,a_(3)=(2,0,3,-1,3)^T,a_(4)=(1,1,0,4,-1)^T,则r(a_(1),a_(2),a_(3),a_(4))=().A 2B 1C 3D 4

为了求出向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的秩 $r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$，我们可以将这些列向量构成一个矩阵，并通过初等行变换将其化为行阶梯形矩阵。矩阵的秩即为行阶梯形矩阵中非零行的数目。

第一步：构造矩阵
将向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 作为列向量构成矩阵 $A$：
$A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 2 & 5 & -1 & 4 \\ 1 & -1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$

第二步：进行初等行变换
我们的目标是将矩阵化为行阶梯形。

1. 以第一行的第一个元素 $1$ 为主元，消去第一列下方的元素：

   • 第 2 行减去第 1 行 ($r_2 \leftarrow r_2 - r_1$)
   • 第 3 行减去第 1 行的 2 倍 ($r_3 \leftarrow r_3 - 2r_1$)
   • 第 4 行减去第 1 行的 2 倍 ($r_4 \leftarrow r_4 - 2r_1$)
   • 第 5 行减去第 1 行 ($r_5 \leftarrow r_5 - r_1$)

   得到：
   $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & -5 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

2. 为了计算方便，将第 2 行除以 2 ($r_2 \leftarrow \frac{1}{2}r_2$)：
   $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & -5 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

3. 以第 2 行的第二个元素 $1$ 为主元，消去第 2 列下方的元素：

   • 第 3 行减去第 2 行 ($r_3 \leftarrow r_3 - r_2$)
   • 第 4 行减去第 2 行的 5 倍 ($r_4 \leftarrow r_4 - 5r_2$)
   • 第 5 行加上第 2 行 ($r_5 \leftarrow r_5 + r_2$)

   得到：
   $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

4. 继续化简，以第 3 行的第四个元素 $-2$ 为主元，消去其下方的元素：

   • 第 4 行加上第 3 行 ($r_4 \leftarrow r_4 + r_3$)
   • 第 5 行减去第 3 行 ($r_5 \leftarrow r_5 - r_3$)

   得到：
   $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

第三步：确定矩阵的秩
经过上述初等行变换，我们得到了矩阵的行阶梯形。观察最终的矩阵，非零行的数量为 3。
因此，矩阵 $A$ 的秩为 3，即向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的秩为 3。

结论
$r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = 3$。

对比选项，正确答案是 C。