一.选择题(1~10小题，每小题5分，共50分.下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)1.设y=y(x)是方程y"+2y'+y=e^3x的解，且满足y(0)=y'(0)=0，则当x→0时，与y(x)为等价无穷小的是( )A. sinx²B. sinxC. ln(1+x³)D. ln√1+x²

本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解以及等价无穷小的判断。解题思路是先求出给定微分方程的通解，再根据初始条件确定特解，最后通过求极限判断与特解为等价无穷小的选项。

1. 求齐次方程的通解：
   对于二阶常系数齐次线性微分方程$y'' + 2y' + y = 0$，其特征方程为$r^{2}+2r + 1 = 0$。
   根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可将特征方程变形为$(r + 1)^{2}=0$。
   解得特征根$r_{1}=r_{2}=-1$。
   所以齐次方程的通解为$Y=(C_{1}+C_{2}x)e^{-x}$，其中$C_{1},C_{2}$为任意常数。
2. 求非齐次方程的一个特解：
   因为非齐次项$f(x)=e^{3x}$，$\lambda = 3$不是特征根，所以设非齐次方程的特解为$y^{*}=Ae^{3x}$。
   对$y^{*}$求一阶导数$y^{*'}=3Ae^{3x}$，二阶导数$y^{*''}=9Ae^{3xx}$。
   将$y^{*},y^{*'},y^{*''}$代入原方程$y'' + 2y' + y = e^{3x}$，得到$9Ae^{3x}+2\times3Ae^{3x}+Ae^{3x = e^{3x}$。
   合并同类项可得$(9A + 6A + A)e^{3x}=e^{3x}$，即$16Ae^{3x}=e^{3x}$。
   两边同时除以$e^{3x}$，解得$A=\frac{1}{16}$。
   所以特解$y^{*}=\frac{1}{16}e^{3x}$。
3. 求原方程的通解：
   原方程$y'' + 2y' + y = e^{3x}$的通解为$y = Y + y^{*}=(C_{1}+C_{2}x)e^{-x}+\frac{1}{16}e^{3x}}$。
4. 根据初始条件确定特解：
   已知$y(0)=0$，$y'(0)=0$。
   先对$y=(C_{1}+C_{2}x)e^{-x}+\frac{1}{16}e^{3x}$求导，根据乘积求导法则$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$，可得$y^\prime = C_{2}e^{-x}-(C_{1}+C_{2}x)e^{-x}+\frac{3}{16}\times3e^{3x}$。
   将$x = 0$代入$y$和$0)可得\(\begin{cases}C_{1}+\frac{1}{16}=0\\C_{2}-C_{1}+\frac{3}{16}=0\end{cases}$。
   由$C_{1}+\frac{1}{16}=0$，解得$C_{1}=-\frac{1}{16}$。
   将$C_{1}=-\frac{1}{16}$代入$C_{2}-C_{1}+\frac{3}{16}=0$，可得$C_{2+\frac{1}{16}+\frac{3}{16}=0$，解得$C_{2}=-\frac{1}{4}{16}=-\frac{1}{4}$。
   所以特解为$y = (-\frac{1}{16}-\frac{1}{4}x)e^{-x}+\frac{1}{16}e^{3x}$。
5. 判断等价无穷小：
   计算$\lim\limits_{x\to0}\frac{y(x)}{\ln\sqrt{1 + x^{2}}}$，因为当$x\to0$时，$\ln\sqrt{1 + x^{2}}=\frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})\sim\frac{1}{2}x^{2}$。
   $\lim\limits_{x\to0}\frac{y(x)}{\ln\sqrt{1 + x^{2}}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(-\frac{1}{16}-\frac{1}{4}x)e^{-x}+\frac{1}{16}e^{3x}{\frac{1}{2}x^{2}}}$。
   利用等价无穷小替换和洛必达法则，$\lim\limits_{x\to0}\frac{(-\frac{1}{16}-\frac{1}{4}x)e^{-x}+\frac{1}{16}e^{3x}}{\frac{1}{2}x^{2}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{16}e^{-x}+(-\frac{1}{4}x)e^{-x}-\frac{1}{16}e^{-x}+\frac{3}{16}e^{3x}}{x}$。
   继续使用洛必达法则，$\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{16}e^{-x}-\frac{1}{4}e^{-x}+(-\frac{1}{4}xe^{-x}+\frac{1}{16}e^{-x}+\frac{3}{16}e^{3x}}{1}$。
   将$x = 0$代入上式，可得$\frac{1}{16}-\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{3}{16}=1$。
   所以当$x\to0$时，$y(x)$与$\ln\sqrt{1 + x^{2}}$为等价无穷小。