题目
函数 (x)=dfrac (|x|x-1)(x(x+1)ln |x|) 的可去间断点的个数为 () 。-|||-(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的定义域
函数 $f(x)=\dfrac {|x|x-1}{x(x+1)\ln |x|}=\dfrac {{e}^{x||x|}-1}{x(x+1)\ln |x|}$ 的定义域为 $x\neq 0$ 且 $x\neq -1$ 且 $x\neq 1$，因为这些点使得分母为零。
步骤 2：分析 $x\rightarrow 0$ 时的极限
当 $x\rightarrow 0$ 时，${e}^{x\ln |x|}-1\sim x\ln x|x|$，所以 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x\ln |x|}-1}{x(x+1)\ln |x|}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x\ln |x|}{x(x+1)\ln |x|}=1$，说明 $x=0$ 是可去间断点。
步骤 3：分析 $x\rightarrow 1$ 时的极限
当 $x\rightarrow 1$ 时，${e}^{x\ln |x|}-1\sim x\ln |x|$，所以 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {{e}^{x\ln |x|}-1}{x(x+1)\ln |x|}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln |x|}{x(x+1)\ln |x|}=\dfrac {1}{2}$，说明 $x=1$ 是可去间断点。
步骤 4：分析 $x\rightarrow -1$ 时的极限
当 $x\rightarrow -1$ 时，${e}^{x\ln |x|}-1\sim x\ln |x|$，所以 $\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {{e}^{x\ln |x|}-1}{x(x+1)\ln |x|}$ 不存在，说明 $x=-1$ 是无穷间断点。
函数 $f(x)=\dfrac {|x|x-1}{x(x+1)\ln |x|}=\dfrac {{e}^{x||x|}-1}{x(x+1)\ln |x|}$ 的定义域为 $x\neq 0$ 且 $x\neq -1$ 且 $x\neq 1$，因为这些点使得分母为零。
步骤 2：分析 $x\rightarrow 0$ 时的极限
当 $x\rightarrow 0$ 时，${e}^{x\ln |x|}-1\sim x\ln x|x|$，所以 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x\ln |x|}-1}{x(x+1)\ln |x|}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x\ln |x|}{x(x+1)\ln |x|}=1$，说明 $x=0$ 是可去间断点。
步骤 3：分析 $x\rightarrow 1$ 时的极限
当 $x\rightarrow 1$ 时，${e}^{x\ln |x|}-1\sim x\ln |x|$，所以 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {{e}^{x\ln |x|}-1}{x(x+1)\ln |x|}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x\ln |x|}{x(x+1)\ln |x|}=\dfrac {1}{2}$，说明 $x=1$ 是可去间断点。
步骤 4：分析 $x\rightarrow -1$ 时的极限
当 $x\rightarrow -1$ 时，${e}^{x\ln |x|}-1\sim x\ln |x|$，所以 $\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {{e}^{x\ln |x|}-1}{x(x+1)\ln |x|}$ 不存在，说明 $x=-1$ 是无穷间断点。