题目
设曲线一是由一围成的区域的边界的正向，则一 ( A ) 0；( B ) 1；( C ) 2；( D ) 4.
设曲线
是由
围成的区域的边界的正向，则
( A ) 0；( B ) 1；( C ) 2；( D ) 4.
题目解答
答案
对于第二型曲线积分
，
，则
于是由格林公式可得：
答案选A.
解析
步骤 1：确定积分区域
曲线是由$y=x$，$y=-x$，$x=1$围成的区域的边界的正向。这个区域是一个等腰直角三角形，顶点在原点，底边在$x=1$处，高也是1。因此，积分区域是一个三角形，其顶点为$(0,0)$，$(1,1)$，$(1,-1)$。
步骤 2：应用格林公式
对于第二型曲线积分${\int }_{L}^{y}dx+xdy$，其中$P(x,y)=y$，$Q(x,y)=x$，则$\dfrac {\partial Q}{\partial x}=1$，$\dfrac {\partial P}{\partial y}=1$。根据格林公式，有：
${\int }_{L}^{y}dx+xdy=\iint (\dfrac {\partial Q}{\partial x}-\dfrac {\partial P}{\partial y})d\sigma =\iint (1-1)d\sigma =\iint 0d\sigma =0$。
步骤 3：计算结果
根据格林公式，我们得到${\int }_{L}^{y}dx+xdy=0$。因此，正确答案是A。
曲线是由$y=x$，$y=-x$，$x=1$围成的区域的边界的正向。这个区域是一个等腰直角三角形，顶点在原点，底边在$x=1$处，高也是1。因此，积分区域是一个三角形，其顶点为$(0,0)$，$(1,1)$，$(1,-1)$。
步骤 2：应用格林公式
对于第二型曲线积分${\int }_{L}^{y}dx+xdy$，其中$P(x,y)=y$，$Q(x,y)=x$，则$\dfrac {\partial Q}{\partial x}=1$，$\dfrac {\partial P}{\partial y}=1$。根据格林公式，有：
${\int }_{L}^{y}dx+xdy=\iint (\dfrac {\partial Q}{\partial x}-\dfrac {\partial P}{\partial y})d\sigma =\iint (1-1)d\sigma =\iint 0d\sigma =0$。
步骤 3：计算结果
根据格林公式，我们得到${\int }_{L}^{y}dx+xdy=0$。因此，正确答案是A。