点x=0是函数f(x)=xsin(1)/(x)的()A. 连续点B. 可去间断点C. 跳跃间断点D. 无穷间断点

考查要点：本题主要考查函数在特定点的连续性及间断点类型的判断，涉及极限的计算和间断点分类标准。

解题核心思路：

1. 判断函数在$x=0$处是否有定义：原函数$f(x)=x\sin\frac{1}{x}$在$x=0$处无定义。
2. 计算$\lim_{x \to 0} f(x)$：利用有界函数与无穷小量乘积的性质或夹逼定理，证明极限存在且为0。
3. 结合间断点分类标准：若极限存在但函数在该点无定义，则为可去间断点。

破题关键点：

• 明确函数在$x=0$处无定义。
• 正确应用极限计算方法，确认极限值存在。
• 根据间断点定义分类得出结论。

步骤1：分析函数在$x=0$处的定义

函数$f(x)=x\sin\frac{1}{x}$中，当$x=0$时，$\frac{1}{x}$无意义，因此$f(0)$未定义。

步骤2：计算$\lim_{x \to 0} f(x)$

考虑极限$\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x}$：

• 有界性：$\sin\frac{1}{x}$的取值范围为$[-1,1]$，即$|\sin\frac{1}{x}| \leq 1$。
• 无穷小量性质：当$x \to 0$时，$x$是无穷小量。
• 乘积性质：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量，因此：
  $\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0$

步骤3：判断间断点类型

• 极限存在：$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$。
• 函数未定义：$f(0)$不存在。
• 结论：满足可去间断点的定义（极限存在但函数值不存在或不等于极限值）。