题目

点x=0是函数f(x)=xsin(1)/(x)的() A. 连续点B. 可去间断点C. 跳跃间断点D. 无穷间断点

点$x=0$是函数$f(x)=x\sin\frac{1}{x}$的()

  • A. 连续点
  • B. 可去间断点
  • C. 跳跃间断点
  • D. 无穷间断点

题目解答

答案

为了确定点 $ x = 0 $ 是函数 $ f(x) = x \sin \frac{1}{x} $ 的什么类型的点，我们需要分析函数在 $ x = 0 $ 附近的性质。具体来说，我们需要检查函数在 $ x = 0 $ 处的极限是否存在，以及函数在 $ x = 0 $ 处是否定义。 首先，让我们考虑函数 $ f(x) = x \sin \frac{1}{x} $ 当 $ x $ 接近 0 时的极限。我们需要找到 $ \lim_{x \to 0} f(x) $。 \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} \] 我们知道 $ \sin \frac{1}{x} $ 当 $ x $ 接近 0 时在 -1 和 1 之间振荡。然而，由于 $ x $ 正在接近 0，项 $ x $ 正在变得非常小。因此，乘积 $ x \sin \frac{1}{x} $ 也正在变得非常小，因为一个非常小的数和一个在 -1 和 1 之间的数的乘积仍然非常小。 为了使这一点更精确，我们可以使用挤压定理。我们知道： \[ -1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1 \] 将整个不等式乘以 $ x $（对于 $ x $ 接近 0 时为正或负），我们得到： \[ -x \leq x \sin \frac{1}{x} \leq x \quad \text{(对于 $ x > 0 $)} \] \[ x \leq x \sin \frac{1}{x} \leq -x \quad \text{(对于 $ x < 0 $)} \] 在两种情况下，当 $ x $ 接近 0 时，左边和右边的表达式都接近 0。因此，根据挤压定理，我们有： \[ \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0 \] 现在，我们需要检查函数 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处是否定义。函数 $ f(x) = x \sin \frac{1}{x} $ 在 $ x = 0 $ 处没有定义，因为表达式 $ \sin \frac{1}{x} $ 在 $ x = 0 $ 处没有意义。 由于 $ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 $ 存在，但 $ f(0) $ 未定义，点 $ x = 0 $ 是函数 $ f(x) $ 的可去间断点。可去间断点是函数未定义的点，但可以通过定义函数在该点的值来使函数连续。 因此，正确答案是： \[ \boxed{B} \]

解析

考查要点：本题主要考查函数在特定点的连续性及间断点类型的判断，涉及极限的计算和间断点分类标准。

解题核心思路：

  1. 判断函数在$x=0$处是否有定义：原函数$f(x)=x\sin\frac{1}{x}$在$x=0$处无定义。
  2. 计算$\lim_{x \to 0} f(x)$：利用有界函数与无穷小量乘积的性质或夹逼定理，证明极限存在且为0。
  3. 结合间断点分类标准：若极限存在但函数在该点无定义，则为可去间断点。

破题关键点：

  • 明确函数在$x=0$处无定义。
  • 正确应用极限计算方法，确认极限值存在。
  • 根据间断点定义分类得出结论。

步骤1：分析函数在$x=0$处的定义

函数$f(x)=x\sin\frac{1}{x}$中，当$x=0$时，$\frac{1}{x}$无意义，因此$f(0)$未定义。

步骤2：计算$\lim_{x \to 0} f(x)$

考虑极限$\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x}$：

  • 有界性：$\sin\frac{1}{x}$的取值范围为$[-1,1]$，即$|\sin\frac{1}{x}| \leq 1$。
  • 无穷小量性质：当$x \to 0$时，$x$是无穷小量。
  • 乘积性质：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量，因此：
    $\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0$

步骤3：判断间断点类型

  • 极限存在：$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$。
  • 函数未定义：$f(0)$不存在。
  • 结论：满足可去间断点的定义（极限存在但函数值不存在或不等于极限值）。