设集合A=(a,b,c,d,e,f),A上的二元关系R=(<a,a>,<a,b>, <a,e>,<b,a>,<b,b>,<b,e>,<c,c>,<d,d>,<d,f>,<e,a>,<e,b>,<e,e>,<f,d>,<f,f>), (1)说明R是否为A上的等价关系。(2)如果R是A上的等价关系,求A中各元素的等价类和商集A/R。(3)给出R所对应的A上的划分。(4)设A的一个划分π=({a,b,c),(d),(e,f)},给出此划分所对应的等价关系R'。

解答：

(1) 说明 R 是否为 A 上的等价关系

等价关系需要满足自反性、对称性和传递性。

根据给定的 R 可以看出:

自反性: R 包含 <a, a>, <b, b>, <c, c>, <d, d>, <e, e>, <f, f>，满足自反性。

对称性: R 包含 <a, b> 也包含 <b, a>，满足对称性。

传递性: 但是 R 不满足传递性,因为存在 <a, b>和<b, e>却不存在<a, e>。

综上所述, R 不是 A 上的等价关系。

(2) 如果 R 是 A 上的等价关系, 求 A 中各元素的等价类和商集 A/R

由于 R 不是等价关系,因此这一部分不需要解答。

(3) 给出 R 所对应的 A 上的划分

根据 R 的定义,可以得到 A 上的以下划分:

{a, b, e}

{c}

{d, f}

(4) 设 A 的一个划分 π = {{a, b, c}, {d}, {e, f}}, 给出此划分所对应的等价关系 R'

根据给定的划分 π,可以定义等价关系 R' 如下:

R' = {<x, y>|x 和 y 属于同一个等价类}

则 R' = {<a, a>, <a, b>, <a, c>, <b, a>, <b, b>, <b, c>, <c, a>, <c, b>, <c, c>, <d, d>, <e, e>, <e, f>, <f, e>, <f, f>}