题目
设随机变量X的分布律为PX=k=a(lambda^k)/(k!)(k=0,1,2,...)，其中lambda >0为常数，则a=().A. a=e^-lambdaB. a=e^2lambdaC. a=e^-2lambdaD. a=e^lambda
设随机变量$X$的分布律为$P\{X=k\}=a\frac{\lambda^k}{k!}(k=0,1,2,\cdots)$，其中$\lambda >0$为常数，则$a=$().
A. $a=e^{-\lambda}$
B. $a=e^{2\lambda}$
C. $a=e^{-2\lambda}$
D. $a=e^{\lambda}$
题目解答
答案
A. $a=e^{-\lambda}$
解析
步骤 1：确定分布律的性质
根据题目，随机变量$X$的分布律为$P\{X=k\}=a\frac{\lambda^k}{k!}$，其中$k=0,1,2,\cdots$。由于$X$是一个离散型随机变量，其分布律必须满足所有可能取值的概率之和等于1，即$\sum_{k=0}^{\infty} P\{X=k\} = 1$。
步骤 2：计算概率之和
将分布律代入上述性质，得到$\sum_{k=0}^{\infty} a\frac{\lambda^k}{k!} = 1$。注意到$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}$是指数函数$e^{\lambda}$的泰勒展开式，因此$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{\lambda}$。
步骤 3：求解$a$
将$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{\lambda}$代入$\sum_{k=0}^{\infty} a\frac{\lambda^k}{k!} = 1$，得到$a e^{\lambda} = 1$。解得$a = e^{-\lambda}$。
根据题目，随机变量$X$的分布律为$P\{X=k\}=a\frac{\lambda^k}{k!}$，其中$k=0,1,2,\cdots$。由于$X$是一个离散型随机变量，其分布律必须满足所有可能取值的概率之和等于1，即$\sum_{k=0}^{\infty} P\{X=k\} = 1$。
步骤 2：计算概率之和
将分布律代入上述性质，得到$\sum_{k=0}^{\infty} a\frac{\lambda^k}{k!} = 1$。注意到$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}$是指数函数$e^{\lambda}$的泰勒展开式，因此$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{\lambda}$。
步骤 3：求解$a$
将$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{\lambda}$代入$\sum_{k=0}^{\infty} a\frac{\lambda^k}{k!} = 1$，得到$a e^{\lambda} = 1$。解得$a = e^{-\lambda}$。