题目

2/2单选题(分值1分，难度：易)oint(1)/(z-2)dz=( )A. 0B. 2πiC. 1D. 2π

2/2单选题(分值1分，难度：易)$\oint\frac{1}{z-2}dz=( )$

A. 0

B. 2πi

C. 1

D. 2π

题目解答

答案

被积函数 $\frac{1}{z-2}$ 在单位圆 $|z|=1$ 内无奇点（奇点 $z=2$ 位于圆外），根据柯西积分定理，解析函数在闭合曲线内的积分为零。
或者，使用参数化 $z = e^{i\theta}$（$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$），积分变为：
$\int_{0}^{2\pi} \frac{ie^{i\theta}}{e^{i\theta} - 2} \, d\theta$
该积分值为零，因被积函数在单位圆内无奇点。
答案： $\boxed{A}$

解析

本题考查复变函数中柯西积分定理的应用。解题思路是先判断被积函数在积分路径所围区域内的奇点情况，再根据柯西积分定理来确定积分的值。

  1. 确定被积函数的奇点：
    对于被积函数$f(z)=\frac{1}{z - 2}$，令分母$z - 2 = 0$，解得$z = 2$，所以该函数的奇点为$z = 2$。
  2. 判断奇点与积分路径的位置关系：
    已知积分路径为单位圆$\vert z\vert = 1$，而奇点$z = 2$，$\vert 2\vert=2>1$，这表明奇点$z = 2$位于单位圆$\vert z\vert = 1$的外部。
  3. 应用柯西积分定理：
    柯西积分定理指出，如果函数$f(z)$在单连通区域$D$内解析，$C$为$D$内的任意一条简单闭合曲线，那么$\oint_{C}f(z)dz = 0$。
    由于被积函数$f(z)=\frac{1}{z - 2}$在单位圆$\vert z\vert = - 当\(z\neq2$时，函数$f(z)$是解析的。
  • 又因为奇点$z = 2$在单位圆$\vert z\vert = 1$外，所以$f(z)$在单位圆$\vert z\vert = 1$所围的区域内解析。
    根据柯西积分定理可得$\oint_{\vert z\vert = 1}\frac{1}{z - 2}dz = 0$。