差分方程为:y(k)-3y(k-1)+2y(k-2)=f(k),y(-1)=0, y(-2)=0.5,f(k)=varepsilon(k),求系统的零输入响应, 单位样值响应和零状态响应 (可以用时域分析法, 也可以用Z域分析法)。

零输入响应
差分方程：$y(k) - 3y(k-1) + 2y(k-2) = 0$
特征方程：$r^2 - 3r + 2 = 0$，解得 $r = 1, 2$
通解：$y_{zi}(k) = C_1 + C_2 \cdot 2^k$
初始条件：$y(-1) = 0$，$y(-2) = 0.5$
解得 $C_1 = 1$，$C_2 = -2$
答案： $y_{zi}(k) = (1 - 2^{k+1})u(k)$

单位样值响应
差分方程：$h(k) - 3h(k-1) + 2h(k-2) = \delta(k)$
初始条件：$h(-1) = 0$，$h(-2) = 0$
解得 $h(0) = 1$，$h(1) = 3$
通解：$h(k) = A_1 + A_2 \cdot 2^k$
解得 $A_1 = -1$，$A_2 = 2$
答案： $h(k) = (2^{k+1} - 1)u(k)$

零状态响应
差分方程：$y_{zs}(k) - 3y_{zs}(k-1) + 2y_{zs}(k-2) = \varepsilon(k)$
$Z$ 变换：$Y_{zs}(z) = \frac{z^3}{(z-1)^2(z-2)}$
部分分式分解：$Y_{zs}(z) = \frac{-3z}{z-1} + \frac{-z}{(z-1)^2} + \frac{4z}{z-2}$
答案： $y_{zs}(k) = (4 \cdot 2^k - k - 3)u(k)$

$\boxed{ \begin{array}{ccc}\text{零输入响应：} & (1 - 2^{k+1})u(k) \\\text{单位样值响应：} & (2^{k+1} - 1)u(k) \\\text{零状态响应：} & (4 \cdot 2^k - k - 3)u(k)\end{array} }$