9.已知f(x)在 x=0 处连续,且 lim _(xarrow 0)dfrac ({x)^2}(f(x))=1, 则下列结论-|||-①f`(0)存在,且 '(0)=0. ②f"(0)存在,且 '(0)=2.-|||-③f(x)在 x=0 处取得极小值. ④f(x)在 x=0 的某邻域内连续.-|||-中正确的个数为A.1B.2C.3D.4

本题主要考查极限与连续性、导数存在性、极值判定等知识点。解题核心在于通过给定的极限条件$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{x^{2}}{f(x)}=1$，推导出$f(x)$在$x=0$附近的展开式，进而分析各结论的正确性。关键思路如下：

1. 等价无穷小替换：由极限条件可知$f(x) \sim x^2$，即$f(x)$在$x=0$附近近似为$x^2$。
2. 泰勒展开：假设$f(x)=x^2 + o(x^2)$，结合导数定义分析$f'(0)$和$f''(0)$。
3. 极值判定：通过$f(x)$的展开式判断$x=0$是否为极小值点。
4. 连续性推广：由局部展开形式推断$f(x)$在$x=0$邻域内的连续性。

结论①：$f'(0)$存在且$f'(0)=0$

根据导数定义：
$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}.$
由$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{f(x)} = 1$得$f(x) \sim x^2$，故：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0.$
因此，$f'(0)=0$，结论①正确。

结论②：$f''(0)$存在且$f''(0)=2$

由$f(x) \sim x^2$，假设$f(x)=x^2 + o(x^2)$，则一阶导数为：
$f'(x) = 2x + o(x).$
二阶导数定义为：
$f''(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)-f'(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x + o(x)}{x} = \lim_{x \to 0} (2 + o(1)) = 2.$
因此，$f''(0)=2$，结论②正确。

结论③：$f(x)$在$x=0$处取得极小值

由$f(x)=x^2 + o(x^2)$，当$x$接近$0$时，$x^2 \geq 0$且$o(x^2)$为高阶小量，故$f(x) \geq 0$，且$f(0)=0$。因此，$x=0$是极小值点，结论③正确。

结论④：$f(x)$在$x=0$的某邻域内连续

题目已知$f(x)$在$x=0$处连续，且由$f(x) \sim x^2$可知，在$x=0$附近$f(x)$的表达式为$x^2 + o(x^2)$，其中$x^2$连续，$o(x^2)$为光滑项，故$f(x)$在$x=0$的邻域内连续，结论④正确。