设向量 vec(alpha) = (1, a, b) 与 vec(alpha)_1 = (2, 2, 2), vec(alpha)_2 = (3, 1, 3) 均正交，则 a, b 的值分别为( )A. a = 0, b = -1B. a = 0, b = 1C. a = 1, b = 0D. a = -1, b = 0

本题考查向量正交的性质以及向量点积的计算。解题思路是根据向量正交的定义，即两个正交向量的点积为$0$，分别列出向量$\vec{\alpha}$与$\vec{\alpha}_1$、$\vec{\alpha}_2$正交的方程，然后联立方程组求解$a$和$b$的值。

已知向量$\vec{\alpha} = (1, a, b)$，$\vec{\alpha}_1 = (2, 2, 2)$，$\vec{\alpha}_2 = (3, 1, 3)$。

• 步骤一：根据向量正交的性质列出方程
  • 因为$\vec{\alpha}$与$\vec{\alpha}_1$正交，根据向量点积的定义，若$\vec{m}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{n}=(x_2,y_2,z_2)$，则$\vec{m}\cdot\vec{n}=x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$，且两向量正交时$\vec{m}\cdot\vec{n}=0$，所以可得：
    $\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}_1 = 1\times2 + a\times2 + b\times2 = 0$，化简该式可得$2 + 2a + 2b = 0$，两边同时除以$2$得到$1 + a + b = 0$，移项可得$a + b = -1$ ①。
  • 同理，因为$\vec{\alpha}$与$\vec{\alpha}_2$正交，所以$\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}_2 = 1\times3 + a\times1 + b\times3 = 0$，即$3 + a + 3b = 0$，移项可得$a + 3b = -3$ ②。
• 步骤二：联立方程组求解$a$和$b$的值
  用②式减去①式消去$a$可得：
  $(a + 3b) - (a + b) = -3 - (-1)$
  去括号得$a + 3b - a - b = -3 + 1$
  合并同类项得$2b = -2$
  两边同时除以$2$得$b = -1$。
  将$b = -1$代入①式可得：$a + (-1) = -1$，移项可得$a = -1 + 1 = 0$。