微分方程(3x^2+6y^2x)dx+(6x^2y+4y^2)dy=0的通解是()A. x^3+3x^2y^2+4y^2=CB. x^3+3x^2y^2-(4)/(3)y^3=CC. x^3+3x^2y^2+(4)/(3)y^3+C=0D. x^3+6x^2y^2+(4)/(3)y^3=C

考查要点：本题主要考查全微分方程的解法，需要判断给定方程是否为恰当方程，并通过积分求出通解。

解题核心思路：

1. 验证全微分条件：计算$\frac{\partial M}{\partial y}$和$\frac{\partial N}{\partial x}$，若相等则方程为恰当方程。
2. 构造势函数$U(x,y)$：
   • 对$M$关于$x$积分，得到$U$的部分表达式，包含未知函数$\varphi(y)$；
   • 对结果关于$y$求导，与$N$比较，解出$\varphi(y)$；
   • 合并所有项得到通解。

破题关键点：

• 正确计算偏导数，确认方程为恰当方程；
• 积分过程中处理未知函数$\varphi(y)$，通过对比确定其具体形式。

1. 验证全微分条件
   设$M = 3x^2 + 6y^2x$，$N = 6x^2y + 4y^2$，计算偏导数：
   $\frac{\partial M}{\partial y} = 12xy, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 12xy$
   两者相等，说明方程为恰当方程。

2. 构造势函数$U(x,y)$

   • 对$M$关于$x$积分：
     $U = \int (3x^2 + 6y^2x) \, dx = x^3 + 3x^2y^2 + \varphi(y)$
   • 对$U$关于$y$求导并与$N$对比：
     $\frac{\partial U}{\partial y} = 6x^2y + \varphi'(y) = 6x^2y + 4y^2$
     解得$\varphi'(y) = 4y^2$，积分得$\varphi(y) = \frac{4}{3}y^3 + C$。
   • 合并结果：
     $U = x^3 + 3x^2y^2 + \frac{4}{3}y^3 + C$

3. 通解形式
   通解为$U = C'$，即：
   $x^3 + 3x^2y^2 + \frac{4}{3}y^3 = C$
   对应选项C（等式两边常数可调整符号）。