5-11 一半径为R的半球壳均匀地带有电荷,电荷面密度为-|||-σ.求球心处电场强度的大小.

考查要点：本题主要考查带电球壳对称性下电场强度的计算，重点在于利用对称性简化积分过程。

解题核心思路：

1. 对称性分析：半球壳关于其底面所在的平面（如xy平面）对称，因此球心处的电场强度仅有垂直于底面（即z轴方向）的分量，其他方向分量相互抵消。
2. 微元法与积分：将半球壳分割为无数电荷面元，计算每个面元在球心产生的场强的z分量，再对整个半球面积分。
3. 坐标系选择：采用球坐标系，利用角度变量简化积分表达式。

破题关键点：

• 正确选择积分变量：通过球坐标系中的面积元素$dA = R^2 \sin\theta d\theta d\phi$，结合场强的z分量表达式$dE_z = \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0} \cos\theta dA$，建立积分式。
• 积分范围确定：半球壳对应$\theta \in [0, \pi/2]$，$\phi \in [0, 2\pi]$。

步骤1：建立坐标系与对称性分析

设半球壳的底面位于xy平面，球心为原点，半球位于$z \geq 0$区域。
对称性：半球壳在z轴方向具有旋转对称性，因此球心处的场强仅沿z轴方向。

步骤2：计算面元的场强分量

取半球壳上任意面元，其电荷为$dq = \sigma dA$，在球心产生的场强大小为：
$dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{R^2} = \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dA}{R^2}$
场强方向沿半径方向，z分量为：
$dE_z = dE \cdot \cos\theta = \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dA \cos\theta}{R^2}$

步骤3：积分整个半球面

将$dA$用球坐标表示：$dA = R^2 \sin\theta d\theta d\phi$，代入$dE_z$并积分：
$E_z = \int dE_z = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0} \frac{R^2 \sin\theta \cos\theta}{R^2} d\theta d\phi$
化简后得：
$E_z = \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0} \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi/2} \sin\theta \cos\theta d\theta$

步骤4：计算积分

1. $\phi$积分：$\int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi$
2. $\theta$积分：令$u = \sin\theta$，则$\int_{0}^{\pi/2} \sin\theta \cos\theta d\theta = \int_{0}^{1} u du = \frac{1}{2}$
   最终结果：
   $E_z = \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0} \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sigma}{4\varepsilon_0}$