证明：当 x geq 0 时，ln(1+x) geq (arctan x)/(1+x)。

我们要证明的不等式是：

> 当 $ x \geq 0 $ 时，有：
$\ln(1+x) \geq \frac{\arctan x}{1+x}$

第一步：定义函数并构造差值

我们考虑函数：
$f(x) = \ln(1+x) - \frac{\arctan x}{1+x}$
我们要证明的是：
$f(x) \geq 0 \quad \text{对于所有 } x \geq 0$

第二步：验证边界值

先验证在 $ x = 0 $ 处的值：

$f(0) = \ln(1+0) - \frac{\arctan 0}{1+0} = 0 - \frac{0}{1} = 0$

所以 $ f(0) = 0 $，不等式在 $ x = 0 $ 处成立。

第三步：求导分析函数单调性

我们计算 $ f(x) $ 的导数：

$f(x) = \ln(1+x) - \frac{\arctan x}{1+x}$

分别对两部分求导：

• $ \frac{d}{dx} \ln(1+x) = \frac{1}{1+x} $
• $ \frac{d}{dx} \left( \frac{\arctan x}{1+x} \right) $：使用商法则

令：
$u = \arctan x, \quad v = 1 + x \Rightarrow \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

其中：

• $ u' = \frac{1}{1+x^2} $
• $ v' = 1 $

所以：
$\frac{d}{dx} \left( \frac{\arctan x}{1+x} \right) = \frac{\frac{1}{1+x^2}(1+x) - \arctan x \cdot 1}{(1+x)^2}$

因此，导数为：
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{\frac{1+x}{1+x^2} - \arctan x}{(1+x)^2}$

我们整理这个表达式，判断其符号。

第四步：化简并分析导数符号

我们写出 $ f'(x) $ 的表达式：

$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{\frac{1+x}{1+x^2} - \arctan x}{(1+x)^2}$

我们设：
$A = \frac{1}{1+x}, \quad B = \frac{\frac{1+x}{1+x^2} - \arctan x}{(1+x)^2}$

所以：
$f'(x) = A - B$

我们尝试分析 $ f'(x) \geq 0 $ 是否成立。

第五步：构造辅助函数分析

令：
$g(x) = \ln(1+x)(1+x) - \arctan x$

我们考虑这个函数的单调性：

• $ g(x) = (1+x)\ln(1+x) - \arctan x $

我们求导：
$g'(x) = \ln(1+x) + 1 - \frac{1}{1+x^2}$

因为 $ \ln(1+x) \geq 0 $ 对 $ x \geq 0 $ 成立，且 $ 1 - \frac{1}{1+x^2} \geq 0 $，所以 $ g'(x) \geq 0 $

因此，$ g(x) $ 在 $ x \geq 0 $ 上单调递增。

又因为：
$g(0) = (1+0)\ln(1+0) - \arctan 0 = 0 - 0 = 0$

所以：
$g(x) \geq 0 \Rightarrow (1+x)\ln(1+x) \geq \arctan x \Rightarrow \ln(1+x) \geq \frac{\arctan x}{1+x}$

✅ 最终结论：

我们证明了：
$\boxed{\ln(1+x) \geq \frac{\arctan x}{1+x} \quad \text{对所有 } x \geq 0}$

不等式得证。